domingo, 5 de octubre de 2014

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

 Definición

Euna IGUALDAD en que intervienen cantidades conocidas (números o expresiones literales) y cantidades desconocidas (incógnitas) cuyo valor debe determinarse.

ax + b = 0

Esta igualdad se satisface sólo para determinados valores de la
incógnita, t
oda ecuación de primer grado con una incógnita, tiene sólo una solución.

Ejemplo:

3x – 5 = 2x + 7 /
Sumamos a ambos lados de la igualdad -2x + 5 

3x-5-2x+5 = 2x + 7 - 2x + 5 sumando
términos semejantes tenemos:
x = 12


Comprobando
el valor de la incógnita en la ecuación se tiene:



3·12–5 = 2 · 12+7 / Resolviendo

36 – 5 = 24 +7

31= 31


Se obtiene una igualdad, luego el valor de la incógnita es el correcto.

1) Resuelva las ecuaciones que se indican:

  1. 10x – 3(x – 3) = 5x + 6
  2. 3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
  3. 2(x – 1) = x + 7
  4. 3(5x – 1) – 5(3x – 1) = 6x
  5. 3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
  6. 6x(7 – x) = 36 – 2x(3x - 15)
  7. 2x(x + 7) – 90 = 5x (x –7) – x(3x - 4)

SOLUCIÓN
  1. 10x – 3(x – 3) = 5x + 6
10x– 3x + 9 =5x + 6
10x- 3x – 5x = - 9+ 6
2x= - 3
x= - 3/2

Comprobación
    10x – 3(x – 3) = 5x + 6
    10 (- 3/2) – 3 ( -3/2 – 3) = 5(-3/2) + 6
    - 30/2 – 3 (- 9/2) = - 15/2 + 6
    - 15 + 27/2 = - 3/2
    -3/2 = -3/2

  1. 3(x– 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
3x– 3 + 2x + 2 = 3x + 12
2x= 13
x= 13/2

Comprobación
    3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
    3(13/2 – 1) + 2(13/2 + 1) = 3 (13/2) + 12
    3( 11/2) + 2( 15/2) = 39/2 + 12
    33/2 + 15 = 63/2 /2
    33 + 30 = 63
    63 = 63

  1. 2(x– 1) = x + 7
    2x– 2 = x + 7
    x= 9
Comprobación
    2(x – 1) = x + 7
    2(9 – 1) = 9 + 7
    2(8) = 16
    16 = 16
  1. 3(5x– 1) – 5(3x – 1) = 6x

    15x – 3 – (15x – 5 ) = 6x
    15x– 3 – 15x + 5 = 6x
    2= 6x
    x= 1/3
Comprobación

    3(5x – 1) – 5(3x – 1) = 6x
    3[5(1/3) – 1]- 5[3(1/3) – 1] = 6(1/3)
    3(5/3 – 1) – 5 (3/3 – 1) = 2
    3( 2/3) – 5( 0/3) = 2
    2 = 2
  1. 3(4x– 6) + 8 = 2x + 3
    12x– 18 + 8 = 2x + 3
    10x= 13
    x= 13/10
Comprobación
    3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
    12(13/10) – 18 + 8 = 2 (13/10) + 3
    156 /10 – 10 = 13/5 + 3
    56/ 10= 28/5
    28/5 = 28/5
  1. 6x(7– x) = 36 – 2x(3x – 15)
    42x– 6x²=36 – 6x²+ 30x
    12x= 36
    x= 3
Comprobación

    6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
    6(3)[7 – 3] = 36 – 2(3)[3(3) – 15]
    18(4) = 36 – 6(- 6)
    72 = 72

  1. 2x(x+ 7) – 90 = 5x (x – 7) – x(3x – 4)
    2x²+ 14x – 90 = 5x²- 35x – 3x²+4x
    2x²+ 14x – 90 = 2x²- 31x45x= 90
    x= 2

Comprobación

  1. 2x(x+ 7) – 90 = 5x (x – 7) – x(3x – 4)
    2(2)[2+ 7]– 90 = 5 (2)[2- 7 ]- 2[3(2)– 4]
    4(9)– 90 = 10(- 5) – 2(2)-54 = - 54

2) El valor de x en la ecuación 4x – 3 = 3 + x es:

A) 5
B) 2
C) 0
D)-2
E)-3

SOLUCIÓN

4x – 3 = 3 + x
4x – x = 3 + 3
3x = 6
x = 2

3) ¿Cuál de las siguientes
ecuaciones, tiene como solución x = 3?

A) 3x – 4 = 8
B) 5x – 6 = 9
C) 6x – x = 10
D)3x – 8 = 8
E)4x – 4 = 0

SOLUCIÓN

A) 3x – 4 = 8

3x = 12

x = 4

B) 5x – 6 = 9

5x = 15

x = 3

4) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es de primer grado?

A) (x + 2)² – 3x²=
x
² + 7x


B) (x² – 7x + 3) – x – 8 = 0

C) x (x + 5) = 2x + 8

D) (x + 1)(x – 1) = x² – 2x + 3x²

E) (x – 1)(x + 2) – x² = 7 (x - 3)

SOLUCIÓN

A) (x + 2)² – 3x² = x² + 7x
x² + 4x + 4 - 3x² = x² + 7x
  • 3x² – 3x + 4 = 0

B) (x² – 7x + 3) – x – 8 = 0
x² – 7x + 3 - x – 8 = 0
x² – 8x – 5 = 0

C) x (x + 5) = 2x + 8
x² + 5x = 2x + 8
x² + 3x – 8 = 0

D) (x + 1)(x – 1) = x² – 2x + 3x²
x² – 1² = 4x² – 2x
  • 3x² + 2x – 1 = 0 / - 1
    +3x² - 2x + 1 = 0

E) (x – 1)(x + 2) – x² = 7 (x – 3)
x² + x (- 1 + 2) + (-1)(2) - x² = 7x - 21
x² + x – 2 – x² - 7x = – 21
  • 6x = 19 / -1
    +x = 19/6

5) Si 3 (1 + x) = 2 (1 – x), entonces el valor de x es:

A) 1/5
B) 0,25
C)- 1/5
D) 5
E) -1

SOLUCIÓN

3(1 + x) = 2 (1 – x)
3 + 3x = 2 – 2x
5x = - 1
x = - 1/5

Comprobación

3(1 + x) = 2 (1 – x)
3(1– 1/5) = 2(1 - (-1/5))
3(4/5) = 2 ( 6/ 5)
12/5 = 12/5

6) Si x/5 + 2 = 1 ; x es igual a :

A) 0
B) 1/5
C) 5
D) – 1/5
E) - 5

SOLUCIÓN

x/5 + 2 = 1 /5
x + 10 = 5
x = - 5

Comprobación

x/5 + 2 = 1 
-5/5 + 2 = 1
1 = 1

7) Si 3x + 5 – x² = (x + 3)(5 – x), entonces x = ?

A) - 3
B) 5
C) 10
D) 0
E) 8

SOLUCIÓN

3x + 5 – x² = (x + 3)(5 – x)
3x + 5 – x² = 5x – x² + 15 – 3x

3x + 5 - x² = 2x – x² + 15
x = 10

Comprobación

3x + 5 – x² = (x + 3)(5 – x)
3(10) + 5 – (10)² = (10+ 3)(5 – 10)
30
+ 5 – 100 = (13)(- 5)
35 – 100 = - 65
  • 65 = - 65

8) ¿Qué valor debe tener x, para que se cumpla 2(4x +1)=3(4x– 1)?

A) 5
B) 4/5
C) 3/2
D) 2/3
E) 5/4

SOLUCIÓN

2(4x +1) = 3(4x– 1)
8x + 2 = 12x – 3
5 = 4x
x = 5/4

Comprobación

2(4x +1) = 3(4x– 1)
2[4(5/4) + 1] = 3[4(5/4) – 1]
2(5 + 1) = 3(5 – 1)
12 = 12

9) El valor de a en la ecuación 3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a) es:

SOLUCIÓN


A) - 23
B) 0
C) 23/24
D) 23
E) 25

SOLUCIÓN

3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a)

(12a - 15) = (8 – 12a)
24a  = 23
a = 23/24

Comprobación

3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a)
3[4(23/24) – 5 ]= 4 [2 – 3(23/24)]=
3(23/6 – 5) = 4 (2 – 23/8)
3( - 7/ 6) = 4 ( - 7/ 8)
  • 7/2 = - 7/2
10) En la ecuación 4 (x – 2) = 5 (2 – 3x), x vale:

A) 4/5
B) 19/18
C) 3/4
D) 4/3
E) 18/19

SOLUCIÓN

4 (x – 2) = 5 (2 – 3x)
4x – 8 = 10 – 15x
19x = 18
x = 18/19

    11) Resuelva las ecuaciones que se indican:

  1. 10x – 3(x – 3) = 5x + 6
  2. 3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
  3. 2(x – 1) = x + 7
  4. 3 (5x – 1) – 5 (3x – 1) = 6x
  5. 3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
  6. 6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
  7. 2x(x + 7) – 90 = 5x(x – 7) – x(3x – 4)

SOLUCIÓN
    10x – 3(x – 3) = 5x + 6
10X – 3X + 9 = 5X + 6
2X = - 3
X = -3/2

COMPROBACIÓN

    10x – 3(x – 3) = 5x + 6
    10(-3/2) – 3[(- 3/2) – 3] = 5(-3/2) + 6
    -30/2 – 3(-9 /2) = - 15/2 + 6 / . 2
    - 30 + 27 = - 15 + 12
    -3 = -3

    3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12

SOLUCIÓN

    3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
    3x – 3 + 2x + 2 = 3x + 12
    2x = 13
    x = 13/2

Comprobación

    3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
3[(13/2)
– 1] + 2[(13/2 + 1)] = 3(13/2) + 12
3(
11/ 2) + 2( 15/2) = 39/2 + 12 /.2
33
+ 30 = 39 + 24
63
= 63


    2(x – 1) = x + 7
2x
– 2 = x + 7
x
= 9

COMPROBACIÓN

    2(x – 1) = x + 7
2(9)
– 2 = (9) + 7
16
= 16


    3 (5x – 1) – 5 (3x – 1) = 6x
15x – 3 – (15x – 5) = 6x
15x – 3 – 15x + 5 = 6x
2 = 6x
x
= 1/3

COMPROBACIÓN

    3 (5x – 1) – 5 (3x – 1) = 6x
    3[5(1/3) – 1]- 5[3(1/3) – 1] = 6(1/3)
    3[5/3 – 1]- 5 [0]= 2
    3( 2/3) = 2
    2 = 2

    3(4x – 6) + 8 = 2x + 3

12x – 18 + 8 = 2x + 3
10x = 13
x = 13/10

COMPROBACIÓN

    3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
    3[4(13/10) – 6]+8 = 2(13/10) + 3
    3( 52/10 – 6) + 8 = 26/10 + 3
    3( - 8/10) + 8 = 56/10
    - 24/10 + 8 =56/10
56/10
= 56/10

    6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
42x – 6x² = 36 – (6x² – 30x)
42x – 6x² = 36 – 6x² + 30x
12x = 36
x = 3

COMPROBACIÓN

    6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
6(3)[7 – 3]= 36 – 2(3)[3(3) – 15]
18(4) = 36 – 6(- 6)
72=72

    2x(x + 7) – 90 = 5x(x – 7) – x(3x – 4)
2x² + 14x – 90 = 5x² – 35x – 3x² + 4x
2x² + 14x – 90 = 2x² – 31x
45x = 90
x = 2

C0MPROBACIÓN

    2x(x + 7) – 90 = 5x(x – 7) – x(3x – 4)
2(2)[(2) + 7] – 90 = 5(2)[2 – 7] - 2 [3(2) – 4]
4(9) – 90 = 10(- 5) – 2 (2)
36 – 90 = - 50 – 4
-54 = - 54


ECUACIONES
DE PRIMER GRADO CON DESARROLLO DE PARÉNTESIS

Para resolver este tipo de
ecuaciones se debe desarrollar los paréntesis y posteriormente
encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplo:

1) x – [5 + 3x- (5x – 6 – x)]= -5 resolviendo paréntesis
x – [5 + 3x – 4x + 6] = -5 resolviendo paréntesis
x – 11 + x = - 5 /+11
2x = 6 /: 3
x = 3

2)
2(x – 3) = 3(x + 2) resolviendo paréntesis
2x – 6 = 3x + 6
-12 = x

EJERCICIOS
RESUELTOS

1) La solución de la ecuación x – [x – 4 – (4x – 1) + x]+ 3 = 0
es:

A)
4
B)
2
C)
0
D)
- 2
E)
– 4

SOLUCIÓN

x
– [x – 4 – (4x – 1) + x]+ 3 = 0
x
– [x – 4 – 4x + 1 + x]+ 3= 0
x
– x + 4 + 4x - 1 - x+ 3= 0
3x
= - 6
x
= - 2

2)
En la expresión x + [x - {- (- x + 1)}]= 5, x vale:

A)
2
B)
3
C)
0
D)
4
E)
5

SOLUCIÓN

x
+ [x - {- (- x + 1)}]= 5
x
+ [x – {x – 1}]= 5
x
+ (x – x + 1) = 5
x
= 4

COMPROBACIÓN

x
+ [x - {- (- x + 1)}]= 5
4
+ [4 - {- (- 4 + 1)}]= 5
4
+ [4 – {4 – 1}]= 5
4
+ (4 – 4 + 1) = 5
5
= 5

3)
Resuelva los paréntesis y encuentre la solución de las ecuaciones
que se indican:

a)
(x – 1)[x – 2(x – 3)] = x (1 – x)
b)
7x – 3[2x – 5(x – 2) – 3] = 2(x – 1)
c)
2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1
d)
2x - [- 2x + 3(x + 2)] = 6x – 1
e)
(2x – 1)[x – 2(x – 3)]= - 2x²
f)
5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]
g)
x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

SOLUCIÓN

(x
– 1)[x – 2(x – 3)] = x (1 – x)
(x
– 1)[x – 2x + 6)] = x – x²
(x
– 1)[- x + 6)] = x – x²
-
x ² + 6x + x - 6 = x – x²
6x
= 6
x
= 1

COMPROBACIÓN

(x
– 1)[x – 2(x – 3)] = x (1 – x)
(1
– 1)[ 1 – 2(1 – 3)] = 1(1 – 1)
0
= 0

b)
7x – 3[2x – 5(x – 2) – 3] = 2(x – 1)
7x
– 3 [2x – (5x – 10) – 3] = (2x – 2)
7x
– 3 (2x - 5x + 10 – 3) = 2x - 2
7x
– 3 (- 3x + 7) = 2x - 2
7x
– ( - 9x + 21) = 2x – 2
7x
+ 9x - 21 = 2x – 2
14x
= 19
x
= 19/14

COMPROBACIÓN

b)
7x – 3[2x – 5(x – 2) – 3] = 2(x – 1)
7(19/14)
– 3[2(19/14) – {5((19/14) – 2)} – 3] = 2[(19/14) – 1)]
133/14
– 3[19/7 - 5 {-9 /14 } - 3] = 2 [5/14 ]
133/14
- 3[19/7 + 45/14 - 3] = 5/7
133/14
- 57/7 135/14 + 9 = 5/7
/. 14
133
– 114 – 135 + 126 = 10
259
- 249 = 10
10
= 10

c)
2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1

SOLUCIÓN
c)
2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1
2x
- [- x + (3x + 6)] = 4x – 1
2x
– x – 3x – 6 = 4x – 1
-
2x – 6 = 4x – 1
6x
= - 5
x
= - 5/6

COMPROBACIÓN

c)
2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1
2(-
5/6) - [{5/6} + 3({- 5/6} + 2] = 4(- 5/6) - 1
-
5/3 - [{5/6} + 3({7/6} ] = 2(- 5/3) - 1
-
5/3 - [5/6 + 7/2] = - 10/3 - 1
  • 5/3 - [26/6 ] = - 10/3 – 1
-36/6 = - 13/3
-13/3 = -13/3

d) 2x - [- 2x + 3(x + 2)] = 6x – 1
2x – [2x + 3x + 6] = 6x - 1
2x – [5x + 6] = 6x – 1
2x – 5x – 6 = 6x – 1
9x = - 5
x = - 5/9

COMPROBACIÓN

2x - [- 2x + 3(x + 2)] = 6x – 1
2(-5/9)- [2{-5/9} + 3 ({- 5/9} + 2) = 6 {- 5/9} - 1
-10/9 - [- 10 /9 + 3(13)/9 ]= - 30/9 - 1
-10/9 - [ - 10/9 + 39 /9 ]= - 39/9 /.9
-10/9 - [29/9 ] = - 39/9
  • 39/9= - 39/9

e) (2x – 1)[x – 2(x – 3)]= - 2x²
(2x – 1)[x – 2x + 3)]= - 2x²
(2x – 1)(- x + 3) = - 2x²
- 2x² + 6x - x – 3 = - 2x²
5x = 3
x = 3/5

COMPROBACIÓN

e) (2x – 1)[x – 2(x – 3)]= - 2x²

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]
5x + 1 – [1 + 2x – 2] = 3[1 – 2x + 3]
5x + 1 – [ 2x – 1] = 3[– 2x + 2]
5x + 1 – 2x + 1 = – 6x + 6
3x + 2 = - 6x + 6
9x = 4
x = 4/9

COMPROBACIÓN

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]
5x + 1 – [1 + 2x – 2] = 3[1 – 2x + 3]
5x + 1 - (- 1 + 2x) = 3(4 – 2x)
5x + 1 + 1 – 2x = 12 – 6x
9x = 10
x = 10/9

COMPROBACIÓN

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]
5 (10/9) + 1 – {1 + 2[10 – 1/9]} = 3{1 – [2(10/9) - 3]}
50/9 + 1 – {1 + 2/9} = 3{1 – [20/9 – 3]}
50/9 + 1 – 11/9 = 3{1 – [– 7/9]}
50/9 + 1 – {11/9} = 3{1 + 7/9}
50/9 + 1 – 11/9 = 3{16/9}
50/9 + 1 – 11/9 = 48/9 /. 9
50 + 9 – 11 = 48
59 – 11 = 48
48 = 48

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

SOLUCIÓN

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x
x + 4 – (2 + 2x) = 2 – x
x
+ 4 – 2 + 2x = 2 – x
4x
= 0
x
= 0

COMPROBACIÓN

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

0 + 4 – 2 [1 + (0)]= 2 – 0
4 – 2 = 2
2 = 2





ECUACIONES
DE PRIMER GRADO CON PRODUCTOS NOTABLES:
Para
resolver estas ecuaciones se deben resolver primero los productos
notables que exista y luego encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplo:

1)
(6x + 5)(x – 1) = (2x – 3)(3x + 5)
(6x² – 6x + 5x – 5) = (6x² + 10x – 9x – 15)
6x² – x – 5 = 6x² + x - 15
10 = 2x
x = 5



2) (x – 2)² – (3 – x)² = 1

(x – 2)² – (3 – x)² = 1
x² - 4x + 4 - ( 9 – 6x + x²) = 1
x² - 4x + 4 – 9 + 6x – x² = 1
    + 2x = 6
    x = 3

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Para que se cumpla la igualdad.
(x – 3)(x + 4) = x² , x = ?

A) 12
B) 3
C) 4
D) 6
E) 0

SOLUCIÓN

(x – 3)(x + 4) = x²
x² + x (- 3 + 4) + (- 3)(4)= x²
x² + x - 12= x²
x= 12


2) En la ecuación
(x + 2)(x - 2) = (x + 4)² ,
x
es igual a:

A) 5
B) 5/2
C) - 5
D) – 5/2
E) - 2

SOLUCIÓN

(x + 2)(x - 2) = (x + 4)²
x²– 2² = x² + 8x + 16
  • 4 -16 = 8x
  • 20/8 = x
  • 5/2 = x

  1. Resuelva
    y encuentre la solución de las ecuaciones con productos notables
    que se indica:

a) (x + 3)² – 2[x (1 + x)] = x(2 – x)
b) (6x - 3) (2x + 4) = 12(x²+ 1)
c) (5x + 3)² + (8x + 15)(3x – 16) = (7x - 8)²
d) 3(x² + 5x + 2) = 3(x + 2)²
e) (x + 3)² – (x – 1)² = 7x
f) 2(x - 4)² – (x - 2)² = (x – 8)²
g) (6x + 5)² = (10x - 3)² - (16x + 1)(4x – 1)

SOLUCIÓN

a) (x + 3)² – 2[x (1 + x)] = x(2 – x)
x² + 6x + 9 – 2(x + x²) = 2x – x²
x² + 6x + 9 – 2x – 2x² = 2x – x²
2x = - 9
x = - 9/2

COMPROBACIÓN

(x + 3)² – 2[x (1 + x)] = x(2 – x)
(- 9 /2+ 3)² - 2I- 9 /2(1 – 9/2)]= - 9/2 (2 + 9/2)
( - 3/2)² - 2 [- 9/2(- 7/2)]=  -9 (13_) /2
(- 3/2)² - [63/2)]= - 117/4
9/4 - 63/4 = - 117/4 /. 4
9 - 126 = - 117
- 117 = - 117

b) (6x - 3) (2x + 4) = 12(x²+ 1)
12x² + 24x – 6x – 12 = 12x² + 12
18x = 24
x = 24/18
x = 4/3

COMPROBACIÓN

b) (6x - 3) (2x + 4) = 12(x²+ 1)
[6( 4/3) – 3][2( 4/3) + 4] = 12[( 4/3)² + 1]
(24/3 - 3)(8/3 + 4) = 12(16/9 + 1)
(5)(20/3) = 12(25/9)
100/3 = 300/9
100/3 = 100/3

c) (5x + 3)² + (8x + 15)(3x – 16) = (7x – 8)²
25x² + 30x + 9 + 24x² – 128x + 45x – 240 = 49x² – 112x + 64
59x = 295
x = 5

COMPROBACIÓN

(5x + 3)² + (8x + 15)(3x – 16) = (7x – 8)²

[5(5) + 3]² + [8(5) + 15][3(5) – 16] = [7(5) – 8]²
[25 + 3]² + [40 + 15][15 – 16] = [35 – 8]²
(28)² + (55)(- 1) = (27)²
784 – 55 = 729
729 =729

d) 3(x² + 5x + 2) = 3(x + 2)²
3x² + 15x + 6 = 3(x² + 4x + 4)
3x² + 15x + 6 = 3x² + 12x + 12
3x = 6
x = 2

COMPROBACIÓN


3(x² + 5x + 2)  = 3(x + 2)²
3[(2)² + 5(2) + 2] = 3[(2) + 2]²
3[4+ 10 + 2] = 3[4]²
3[16] = 3[4]²
48 = 48

e) (x + 3)² – (x – 1)² = 7x
x² + 6x + 9 – (x² – 2x + 1) = 7x
8x + 8 = 7x
x = - 8

COMPROBACIÓN

(x + 3)² – (x – 1)² = 7x
[(- 8) + 3]² – [(- 8) – 1]² = 7(- 8)
(- 5)² - (- 9)² = - 56
25 – 81 = - 56
-56 = - 56

f) 2(x - 4)² – (x - 2)² = (x – 8)²
2( x² – 8x + 16) – (x² – 4x + 4) = x² – 16x + 64
2x² – 16x + 32 – x² + 4x – 4 = x² – 16x + 64
x² – 12x + 28 = x² – 16x + 64
  • 36 = - 4x
    x = 9

COMPROBACIÓN


2(x - 4)² –  (x - 2)² = (x - 8)²

2(9 - 4)² – (9 - 2)² = (9 - 8)²

2(5)² – (7)² = (1)²
50 – 49 = 1
1= 1

g) (6x + 5)² = (10x - 3)² - (16x + 1)(4x – 1)
[36x² + 60x + 25] = [100x² – 60x + 9] – [64x² – 16x + 4x - 1]
36x² + 60x + 25 = 36x² – 48x + 10
108x = - 15
x = - 15/108
x = - 5/36

COMPROBACIÓN

(6x + 5)² = (10x - 3)² - (16x + 1)(4x – 1)
[6(- 5/36) + 5]² = [10(- 5/36) - 3]² - [16(- 5/36) + 1][4(- 5/36) –1]


ECUACIONES
DE PRIMER GRADO CON COEFICIENTE FRACCIONARIO:
Para resolver estas ecuaciones se debe transformar la ecuación a
coeficientes de números enteros y luego proceder a resolverla para
encontrar el valor de la incógnita
.

Ejemplo:
4/3 y – 5 = 3/2 (y – 5)
4/3y - 5 = (3/2y – 15/2) /.6
8y – 30 = 9y – 45
15 = y

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Considerando 3/x + 1 = 5, entonces x = ?
A) 4/3
B) 12
C) 3/4
D) 18
E) 11/12

SOLUCIÓN

3/x + 1 = 5 / x
3 + x = 5x
3 = 4x
x = 3/4

  1. Para que la igualdad 1 + x /2 = 1 – x /3 se cumpla, entonces el valor x es:

A) - 1/5
B) 1/5
C) 0,25
D) 2
E) 5

SOLUCIÓN

1 + x /2 = 1 – x /3 / 6
3(1 + x) = 2 (1 – x)
3 + 3x = 2 – 2x
5x = - 1
x = - 1/5

3) Resuelva y encuentre la solución de las ecuaciones con coeficiente fraccionario:

a) x/2 + 6 – x/4 = 2x/5 + 3
b) (6x – 3)/7 + 4 = 2x – x/4
c) (x – 3)/8 – (3 + 5x) / 9 = (2x + 1)/6
d) (5x – 2)/3 – (x - 8 )/4 =(x + 14)/2 – 2
e) 3 – (15 + 3x)/14 = (2x – 5)/7
f) (x – 2)/3 – (12 – x)/2= (5x - 36)/4 – 1
g) (x + 3)/4 – (x – 4)/9 = ½ – (x + 1)/4 + (2x + 1)/9

SOLUCIÓN


a) x/2 + 6 – x/4 = 2x/5 + 3

x + 6 – x = 2x + 3 / . 20

2 4 510x + 120 – 5x = 8x + 60 

3x = 60
x = 20

COMPROBACIÓN


x/2 + 6 – x/4 = 2x/5 + 3
20/2 + 6 – 20/4 = 40/5 + 3
10 + 6 – 5 = 8 + 3
11 = 11

b)  (6x – 3)/7 + 4 = 2x – x/4
6x – 3 + 112 = 2x – x
7 4 /.28 
4(6x – 3) + 112 = 56x – 7x
24x– 12 + 112 = 49x
100= 25x
x = 4

C0MPROBACIÓN

[6(4) – 3]/7 + 4 = 2(4) – (4)/4
21/7 + 4 = 8 – 1
7 = 7

c) (x – 3)/8 – (3 + 5x) / 9 = (2x + 1)/6

(x – 3)(3 + 5x) = (2x + 1)              /.72
  8              9                 6
9(x– 3) – 8(3 + 5x) = 12(2x + 1)
9x– 27 – 24 – 40x = 24x + 12
- 31x – 24x = 12 + 51
  • 55x = 63
    x = - 63/55

COMPROBACIÓN

(x – 3)/8 – (3 + 5x) / 9 = (2x + 1)/6

d) (5x – 2)/3 – (x - 8 )/4 =(x + 14)/2 – 2

(5x – 2) – (x - 8 ) =(x + 14)
– 2

     3              4           2                               /.12
4(5xn– 2) – 3(x – 8) = 6(x + 14) – 24
20x – 8 – 3x + 24 = 6x + 84 – 24
17x + 16 = 6x + 60
11x = 44
x = 4

COMPROBACIÓN


(5.4 – 2)– (4- 8 ) =(4+ 14)
– 2

3
4 2
18
-
(-4)
=
18 - 2
3
4 2 /.12
4(18)
– 3(-4) = 6(18) – 24
72
+ 12 = 108 – 24
84
= 84


SOLUCIONES
DE UNA ECUACIÓN

ax
+ b = 0

En
una ecuación lineal se tiene que:

I
) Si

a ≠ 0,
tiene
solución única.
II
) Si

a = 0 y b = 0,
tiene
infinitas soluciones
III
) Si

a = 0 y b

0, no tiene solución

Ejemplo:

px/2
+ 3x = q ¿Cuál debe ser el valor de p y q para que tenga solución
única, infinitas soluciones o no tenga solución?

Despejando
x se tiene: x = 2q/p + 6

1)
p

- 6 y q cualquier valor, el denominador es distinto de cero, la
ecuación única.

2)
p = - 6 y q = 0 la ecuación tiene infinitas soluciones.

3)
p = - 6 la ecuación no tiene solución

EJERCICIOS
RESUELTOS

1)
La ecuación de incógnita x,
3x – 2
= - kx + 5
tiene
solución única si k es distinto de:

A)
- 6
B) - 5
C) 3
D) 0
E) – 3

SOLUCIÓN

3x – 2 = - kx + 5
3x + Kx = 5 + 2
x (3 + k) = 7
x = 7 /(3+k)




La solución debe ser con x ≠ -3

2) Encuentre lo que se pide en cada ejercicio:

2.1.-
Dada la ecuación de incógnita x, 5x – 3 = kx + 2 encuentre el
valor de k para que tenga solución única.

2.2.-
Dada la ecuación de incógnita x, (px + 1)/2 + 3x = q determine los
valores de p y q para que tenga solución o soluciones:

a) única b) infinitas soluciones c) no tenga solución.

2.3.-
Para qué valores de p la ecuación(p + 2)x = 4x tiene infinitas
soluciones.

2.4.-
Determine el valor de k para que la ecuación (2k + 3)x =8x+ k no
tenga solución.

2.5.-
Diga cuánto debe valer el parámetro k para que la ecuación a²x +
b²kx = 2 no tenga solución.

2.6.-
Cuál debe ser el valor del parámetro k para que l ecuación x(k +
3) = 6. Para que esta tenga solución única.

SOLUCIÓN

2.1.- Dada la ecuación de incógnita x, 5x – 3 = kx + 2 encuentre
el valor de 
k para que tenga solución única.

5x – 3 = kx + 2
5x – kx = 5
x(5 - k) = 5
x = 5 / (5 – k) ; k ≠ 5

COMPROBACIÓN

5x – 3 = kx + 2



2.2.-Dada la ecuación de incógnita x,
(px + 1)/2 + 3x = q

determine los valores de p y q para que tenga solución o soluciones:

a)
única b) infinitas soluciones c) no tenga solución.

SOLUCIÓN

(px
+ 1)/2 + 3x = q
px + 1)
+ 3x = q

2
/.2
(Px + 1) + 6x = 2q
px – 6x = 2q – 1
x
(p – 6) = 2q – 1
x
=
2q
– 1

; p
≠6
y q ≠ 1/2

p – 6

2.3.-
Para qué valores de p la ecuación
(p
+ 2)x = 4x

tiene infinitas soluciones.

(p
+ 2)x = 4x
px
+ 2x = 4x
px
– 2x = 0
x (p - 2)= 0
x = 0



ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO
Son ecuaciones en las que aparecen una o más letras distintas, además
de la incógnita.

Ejemplo:

1) 3x – 6a = 12b / +6a
3x = 12b + 6a
x = 12b + 6a / 3
x = 2a + 6b

2) px + qx = p² – q²
x (p + q) = p² – q²
x = p² – q² / (p + q)
x = (p + q)(p – q) /(p + q)
x = p – q

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Si m²x – 3 = m + 9x entonces el valor x es:

A) m
B) 1/m -3
C) 1/m + 3
D) m - 3
E) 2

SOLUCIÓN

m²x– 3 = m + 9x
m²x– 9x = m + 3
x =(m² – 9) = m + 3
x = m + 3 /(m + 3)(m -3)
x = 1/m – 3


2) Si 3m = 3/2 entonces el valor de 2m es:

A) 9/4
B) 0
C) 1
D) 2/3
E) 4

SOLUCIÓN

3m = 3/2
3m
= 3/2 / 1/3
m
= 3/2 1/3
m
= ½

2m = 2 ▪ ½
2m = 1

3) En la ecuación a(x + b) = a² + b² + b(x – a) el valor de x es:

A) a - b
B) a + b
C) 2a + b
D) a - 2b
E) a² + b²


SOLUCIÓN

a(x + b) = a² + b² + b(x – a)
ax + ab = a² + b² + bx – ab
ax – bx = a² + b² – 2ab
x (a – b) = a² – 2ab + b²
x = (a – b)²/(a - b)
x = a - b

PROBLEMAS DE PLANTEO

Los problemas de planteo son enunciados verbales, que deben ser
traducidos a lenguaje algebraico para el planteamiento de situaciones
que se transformarán en una ecuación de primer grado. La habilidad
de hacer la correcta interpretación dependerá de la buena lectura
comprensiva del enunciado, lo que facilitará la identificación de
la incógnita, para plantear la ecuación correspondiente a los datos
entregados en el problema.

Ejemplo:

La edad de Ana es el doble que la de Berta, ambas edades suman 36 años.
Hallar ambas edades.

Solución:

X es edad de Berta
2x debe ser la edad de Ana (el doble)

x + 2x = 36
3x = 36
x = 12; Berta tiene 12 años y Ana 24 años de edad.
Luego  12 + 24 = 36 años.

EJERCICIOS RESUELTOS


APLICACIÓN A LA GEOMETRÍA

a) El dibujo muestra el área achurada de un cuadro, que se puede
escribir como 4(x – 1). ¿Cuál es el valor de x, si el área es
16?



4(x – 1) = 16
4x – 4 = 16
4x= 20
x= 5

b) El área del rectángulo de la figura es (x³ – 6 x² + 12x – 8), si uno de sus lados es (x – 2), ¿cuál es la expresión que representa la medida del otro lado?




x³– 6 x² + 12x – 8 : x – 2 = x² – 4x - 4
x³– 2x²
    • 4x² + 12x
    • 4x²+ 8 x
      4x– 8
      4x– 8
         0


Respuesta:
x² – 4x - 4

  1. Si los lados del rectángulo ABCD son (x + 1) y(x – 1), y su área es x² + 6x – 25, entonces la medida de x es:


(x + 1) (x – 1) = x² + 6x – 25
x² – x + x – 1 = x² + 6x – 25
24 = 6x
x = 24/6
x = 4

COMPROBACIÓN

(x + 1) (x – 1) = x² + 6x – 25
(4 + 1)(4 – 1) = (4)² + 6(4) – 25
5(3)= 16 + 24 – 25
15 = 15

  1. Según los datos de la figura, ¿Cuál es la hipotenusa del triángulo?


(x + 4)² + (x + 5)² = h
x² + 8x + 16 + x²
+ 10x + 25 = h
2x² + 18x + 41 = h

e) Si el perímetro del rectángulo es 48 cm, ¿Cuál es el valor de sus
lados y el área de dicho rectángulo?




2(x – 4)
+
2(x + 5)


2x – 8
+ 2x + 10
4x + 2 ->  Perímetro

(x – 4)(x + 5)= x²
+ 5x – 4x – 20 =x²
+ x – 20=(x + 5)(x – 4) ->área





 Definición

Es una IGUALDAD en que intervienen cantidades conocidas (números o expresiones literales) y cantidades desconocidas (incógnitas) cuyo valor debe determinarse.

ax + b = 0

Esta igualdad se satisface sólo para determinados valores de la
incógnita, t
oda ecuación de primer grado con una incógnita, tiene sólo una solución.

Ejemplo:

3x – 5 = 2x + 7 /
Sumamos a ambos lados de la igualdad -2x + 5 

3x-5-2x+5 = 2x + 7 - 2x + 5 sumando
términos semejantes tenemos:
x = 12


Comprobando
el valor de la incógnita en la ecuación se tiene:



3·12–5 = 2 · 12+7 / Resolviendo

36 – 5 = 24 +7

31= 31


Se obtiene una igualdad, luego el valor de la incógnita es el correcto.

1) Resuelva las ecuaciones que se indican:

  1. 10x – 3(x – 3) = 5x + 6
  2. 3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
  3. 2(x – 1) = x + 7
  4. 3(5x – 1) – 5(3x – 1) = 6x
  5. 3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
  6. 6x(7 – x) = 36 – 2x(3x - 15)
  7. 2x(x + 7) – 90 = 5x (x –7) – x(3x - 4)

SOLUCIÓN
  1. 10x – 3(x – 3) = 5x + 6
10x– 3x + 9 =5x + 6
10x- 3x – 5x = - 9+ 6
2x= - 3
x= - 3/2

Comprobación
    10x – 3(x – 3) = 5x + 6
    10 (- 3/2) – 3 ( -3/2 – 3) = 5(-3/2) + 6
    - 30/2 – 3 (- 9/2) = - 15/2 + 6
    - 15 + 27/2 = - 3/2
    -3/2 = -3/2

  1. 3(x– 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
3x– 3 + 2x + 2 = 3x + 12
2x= 13
x= 13/2

Comprobación
    3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
    3(13/2 – 1) + 2(13/2 + 1) = 3 (13/2) + 12
    3( 11/2) + 2( 15/2) = 39/2 + 12
    33/2 + 15 = 63/2 /2
    33 + 30 = 63
    63 = 63

  1. 2(x– 1) = x + 7
    2x– 2 = x + 7
    x= 9
Comprobación
    2(x – 1) = x + 7
    2(9 – 1) = 9 + 7
    2(8) = 16
    16 = 16
  1. 3(5x– 1) – 5(3x – 1) = 6x

    15x – 3 – (15x – 5 ) = 6x
    15x– 3 – 15x + 5 = 6x
    2= 6x
    x= 1/3
Comprobación

    3(5x – 1) – 5(3x – 1) = 6x
    3[5(1/3) – 1]- 5[3(1/3) – 1] = 6(1/3)
    3(5/3 – 1) – 5 (3/3 – 1) = 2
    3( 2/3) – 5( 0/3) = 2
    2 = 2
  1. 3(4x– 6) + 8 = 2x + 3
    12x– 18 + 8 = 2x + 3
    10x= 13
    x= 13/10
Comprobación
    3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
    12(13/10) – 18 + 8 = 2 (13/10) + 3
    156 /10 – 10 = 13/5 + 3
    56/ 10= 28/5
    28/5 = 28/5
  1. 6x(7– x) = 36 – 2x(3x – 15)
    42x– 6x²=36 – 6x²+ 30x
    12x= 36
    x= 3
Comprobación

    6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
    6(3)[7 – 3] = 36 – 2(3)[3(3) – 15]
    18(4) = 36 – 6(- 6)
    72 = 72

  1. 2x(x+ 7) – 90 = 5x (x – 7) – x(3x – 4)
    2x²+ 14x – 90 = 5x²- 35x – 3x²+4x
    2x²+ 14x – 90 = 2x²- 31x45x= 90
    x= 2

Comprobación

  1. 2x(x+ 7) – 90 = 5x (x – 7) – x(3x – 4)
    2(2)[2+ 7]– 90 = 5 (2)[2- 7 ]- 2[3(2)– 4]
    4(9)– 90 = 10(- 5) – 2(2)-54 = - 54

2) El valor de x en la ecuación 4x – 3 = 3 + x es:

A) 5
B) 2
C) 0
D)-2
E)-3

SOLUCIÓN

4x – 3 = 3 + x
4x – x = 3 + 3
3x = 6
x = 2

3) ¿Cuál de las siguientes
ecuaciones, tiene como solución x = 3?

A) 3x – 4 = 8
B) 5x – 6 = 9
C) 6x – x = 10
D)3x – 8 = 8
E)4x – 4 = 0

SOLUCIÓN

A) 3x – 4 = 8

3x = 12

x = 4

B) 5x – 6 = 9

5x = 15

x = 3

4) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es de primer grado?

A) (x + 2)² – 3x²=
x
² + 7x


B) (x² – 7x + 3) – x – 8 = 0

C) x (x + 5) = 2x + 8

D) (x + 1)(x – 1) = x² – 2x + 3x²

E) (x – 1)(x + 2) – x² = 7 (x - 3)

SOLUCIÓN

A) (x + 2)² – 3x² = x² + 7x
x² + 4x + 4 - 3x² = x² + 7x
  • 3x² – 3x + 4 = 0

B) (x² – 7x + 3) – x – 8 = 0
x² – 7x + 3 - x – 8 = 0
x² – 8x – 5 = 0

C) x (x + 5) = 2x + 8
x² + 5x = 2x + 8
x² + 3x – 8 = 0

D) (x + 1)(x – 1) = x² – 2x + 3x²
x² – 1² = 4x² – 2x
  • 3x² + 2x – 1 = 0 / - 1
    +3x² - 2x + 1 = 0

E) (x – 1)(x + 2) – x² = 7 (x – 3)
x² + x (- 1 + 2) + (-1)(2) - x² = 7x - 21
x² + x – 2 – x² - 7x = – 21
  • 6x = 19 / -1
    +x = 19/6

5) Si 3 (1 + x) = 2 (1 – x), entonces el valor de x es:

A) 1/5
B) 0,25
C)- 1/5
D) 5
E) -1

SOLUCIÓN

3(1 + x) = 2 (1 – x)
3 + 3x = 2 – 2x
5x = - 1
x = - 1/5

Comprobación

3(1 + x) = 2 (1 – x)
3(1– 1/5) = 2(1 - (-1/5))
3(4/5) = 2 ( 6/ 5)
12/5 = 12/5

6) Si x/5 + 2 = 1 ; x es igual a :

A) 0
B) 1/5
C) 5
D) – 1/5
E) - 5

SOLUCIÓN

x/5 + 2 = 1 /5
x + 10 = 5
x = - 5

Comprobación

x/5 + 2 = 1 
-5/5 + 2 = 1
1 = 1

7) Si 3x + 5 – x² = (x + 3)(5 – x), entonces x = ?

A) - 3
B) 5
C) 10
D) 0
E) 8

SOLUCIÓN

3x + 5 – x² = (x + 3)(5 – x)
3x + 5 – x² = 5x – x² + 15 – 3x

3x + 5 - x² = 2x – x² + 15
x = 10

Comprobación

3x + 5 – x² = (x + 3)(5 – x)
3(10) + 5 – (10)² = (10+ 3)(5 – 10)
30
+ 5 – 100 = (13)(- 5)
35 – 100 = - 65
  • 65 = - 65

8) ¿Qué valor debe tener x, para que se cumpla 2(4x +1)=3(4x– 1)?

A) 5
B) 4/5
C) 3/2
D) 2/3
E) 5/4

SOLUCIÓN

2(4x +1) = 3(4x– 1)
8x + 2 = 12x – 3
5 = 4x
x = 5/4

Comprobación

2(4x +1) = 3(4x– 1)
2[4(5/4) + 1] = 3[4(5/4) – 1]
2(5 + 1) = 3(5 – 1)
12 = 12

9) El valor de a en la ecuación 3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a) es:

SOLUCIÓN


A) - 23
B) 0
C) 23/24
D) 23
E) 25

SOLUCIÓN

3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a)

(12a - 15) = (8 – 12a)
24a  = 23
a = 23/24

Comprobación

3 (4a – 5) = 4 (2 – 3a)
3[4(23/24) – 5 ]= 4 [2 – 3(23/24)]=
3(23/6 – 5) = 4 (2 – 23/8)
3( - 7/ 6) = 4 ( - 7/ 8)
  • 7/2 = - 7/2
10) En la ecuación 4 (x – 2) = 5 (2 – 3x), x vale:

A) 4/5
B) 19/18
C) 3/4
D) 4/3
E) 18/19

SOLUCIÓN

4 (x – 2) = 5 (2 – 3x)
4x – 8 = 10 – 15x
19x = 18
x = 18/19

    11) Resuelva las ecuaciones que se indican:

  1. 10x – 3(x – 3) = 5x + 6
  2. 3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
  3. 2(x – 1) = x + 7
  4. 3 (5x – 1) – 5 (3x – 1) = 6x
  5. 3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
  6. 6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
  7. 2x(x + 7) – 90 = 5x(x – 7) – x(3x – 4)

SOLUCIÓN
    10x – 3(x – 3) = 5x + 6
10X – 3X + 9 = 5X + 6
2X = - 3
X = -3/2

COMPROBACIÓN

    10x – 3(x – 3) = 5x + 6
    10(-3/2) – 3[(- 3/2) – 3] = 5(-3/2) + 6
    -30/2 – 3(-9 /2) = - 15/2 + 6 / . 2
    - 30 + 27 = - 15 + 12
    -3 = -3

    3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12

SOLUCIÓN

    3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
    3x – 3 + 2x + 2 = 3x + 12
    2x = 13
    x = 13/2

Comprobación

    3(x – 1) + 2(x + 1) = 3x + 12
3[(13/2)
– 1] + 2[(13/2 + 1)] = 3(13/2) + 12
3(
11/ 2) + 2( 15/2) = 39/2 + 12 /.2
33
+ 30 = 39 + 24
63
= 63


    2(x – 1) = x + 7
2x
– 2 = x + 7
x
= 9

COMPROBACIÓN

    2(x – 1) = x + 7
2(9)
– 2 = (9) + 7
16
= 16


    3 (5x – 1) – 5 (3x – 1) = 6x
15x – 3 – (15x – 5) = 6x
15x – 3 – 15x + 5 = 6x
2 = 6x
x
= 1/3

COMPROBACIÓN

    3 (5x – 1) – 5 (3x – 1) = 6x
    3[5(1/3) – 1]- 5[3(1/3) – 1] = 6(1/3)
    3[5/3 – 1]- 5 [0]= 2
    3( 2/3) = 2
    2 = 2

    3(4x – 6) + 8 = 2x + 3

12x – 18 + 8 = 2x + 3
10x = 13
x = 13/10

COMPROBACIÓN

    3(4x – 6) + 8 = 2x + 3
    3[4(13/10) – 6]+8 = 2(13/10) + 3
    3( 52/10 – 6) + 8 = 26/10 + 3
    3( - 8/10) + 8 = 56/10
    - 24/10 + 8 =56/10
56/10
= 56/10

    6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
42x – 6x² = 36 – (6x² – 30x)
42x – 6x² = 36 – 6x² + 30x
12x = 36
x = 3

COMPROBACIÓN

    6x(7 – x) = 36 – 2x(3x – 15)
6(3)[7 – 3]= 36 – 2(3)[3(3) – 15]
18(4) = 36 – 6(- 6)
72=72

    2x(x + 7) – 90 = 5x(x – 7) – x(3x – 4)
2x² + 14x – 90 = 5x² – 35x – 3x² + 4x
2x² + 14x – 90 = 2x² – 31x
45x = 90
x = 2

C0MPROBACIÓN

    2x(x + 7) – 90 = 5x(x – 7) – x(3x – 4)
2(2)[(2) + 7] – 90 = 5(2)[2 – 7] - 2 [3(2) – 4]
4(9) – 90 = 10(- 5) – 2 (2)
36 – 90 = - 50 – 4
-54 = - 54


ECUACIONES
DE PRIMER GRADO CON DESARROLLO DE PARÉNTESIS

Para resolver este tipo de
ecuaciones se debe desarrollar los paréntesis y posteriormente
encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplo:

1) x – [5 + 3x- (5x – 6 – x)]= -5 resolviendo paréntesis
x – [5 + 3x – 4x + 6] = -5 resolviendo paréntesis
x – 11 + x = - 5 /+11
2x = 6 /: 3
x = 3

2)
2(x – 3) = 3(x + 2) resolviendo paréntesis
2x – 6 = 3x + 6
-12 = x

EJERCICIOS
RESUELTOS

1) La solución de la ecuación x – [x – 4 – (4x – 1) + x]+ 3 = 0
es:

A)
4
B)
2
C)
0
D)
- 2
E)
– 4

SOLUCIÓN

x
– [x – 4 – (4x – 1) + x]+ 3 = 0
x
– [x – 4 – 4x + 1 + x]+ 3= 0
x
– x + 4 + 4x - 1 - x+ 3= 0
3x
= - 6
x
= - 2

2)
En la expresión x + [x - {- (- x + 1)}]= 5, x vale:

A)
2
B)
3
C)
0
D)
4
E)
5

SOLUCIÓN

x
+ [x - {- (- x + 1)}]= 5
x
+ [x – {x – 1}]= 5
x
+ (x – x + 1) = 5
x
= 4

COMPROBACIÓN

x
+ [x - {- (- x + 1)}]= 5
4
+ [4 - {- (- 4 + 1)}]= 5
4
+ [4 – {4 – 1}]= 5
4
+ (4 – 4 + 1) = 5
5
= 5

3)
Resuelva los paréntesis y encuentre la solución de las ecuaciones
que se indican:

a)
(x – 1)[x – 2(x – 3)] = x (1 – x)
b)
7x – 3[2x – 5(x – 2) – 3] = 2(x – 1)
c)
2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1
d)
2x - [- 2x + 3(x + 2)] = 6x – 1
e)
(2x – 1)[x – 2(x – 3)]= - 2x²
f)
5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]
g)
x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

SOLUCIÓN

(x
– 1)[x – 2(x – 3)] = x (1 – x)
(x
– 1)[x – 2x + 6)] = x – x²
(x
– 1)[- x + 6)] = x – x²
-
x ² + 6x + x - 6 = x – x²
6x
= 6
x
= 1

COMPROBACIÓN

(x
– 1)[x – 2(x – 3)] = x (1 – x)
(1
– 1)[ 1 – 2(1 – 3)] = 1(1 – 1)
0
= 0

b)
7x – 3[2x – 5(x – 2) – 3] = 2(x – 1)
7x
– 3 [2x – (5x – 10) – 3] = (2x – 2)
7x
– 3 (2x - 5x + 10 – 3) = 2x - 2
7x
– 3 (- 3x + 7) = 2x - 2
7x
– ( - 9x + 21) = 2x – 2
7x
+ 9x - 21 = 2x – 2
14x
= 19
x
= 19/14

COMPROBACIÓN

b)
7x – 3[2x – 5(x – 2) – 3] = 2(x – 1)
7(19/14)
– 3[2(19/14) – {5((19/14) – 2)} – 3] = 2[(19/14) – 1)]
133/14
– 3[19/7 - 5 {-9 /14 } - 3] = 2 [5/14 ]
133/14
- 3[19/7 + 45/14 - 3] = 5/7
133/14
- 57/7 135/14 + 9 = 5/7
/. 14
133
– 114 – 135 + 126 = 10
259
- 249 = 10
10
= 10

c)
2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1

SOLUCIÓN
c)
2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1
2x
- [- x + (3x + 6)] = 4x – 1
2x
– x – 3x – 6 = 4x – 1
-
2x – 6 = 4x – 1
6x
= - 5
x
= - 5/6

COMPROBACIÓN

c)
2x - [- x + 3(x + 2)]= 4x – 1
2(-
5/6) - [{5/6} + 3({- 5/6} + 2] = 4(- 5/6) - 1
-
5/3 - [{5/6} + 3({7/6} ] = 2(- 5/3) - 1
-
5/3 - [5/6 + 7/2] = - 10/3 - 1
  • 5/3 - [26/6 ] = - 10/3 – 1
-36/6 = - 13/3
-13/3 = -13/3

d) 2x - [- 2x + 3(x + 2)] = 6x – 1
2x – [2x + 3x + 6] = 6x - 1
2x – [5x + 6] = 6x – 1
2x – 5x – 6 = 6x – 1
9x = - 5
x = - 5/9

COMPROBACIÓN

2x - [- 2x + 3(x + 2)] = 6x – 1
2(-5/9)- [2{-5/9} + 3 ({- 5/9} + 2) = 6 {- 5/9} - 1
-10/9 - [- 10 /9 + 3(13)/9 ]= - 30/9 - 1
-10/9 - [ - 10/9 + 39 /9 ]= - 39/9 /.9
-10/9 - [29/9 ] = - 39/9
  • 39/9= - 39/9

e) (2x – 1)[x – 2(x – 3)]= - 2x²
(2x – 1)[x – 2x + 3)]= - 2x²
(2x – 1)(- x + 3) = - 2x²
- 2x² + 6x - x – 3 = - 2x²
5x = 3
x = 3/5

COMPROBACIÓN

e) (2x – 1)[x – 2(x – 3)]= - 2x²

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]
5x + 1 – [1 + 2x – 2] = 3[1 – 2x + 3]
5x + 1 – [ 2x – 1] = 3[– 2x + 2]
5x + 1 – 2x + 1 = – 6x + 6
3x + 2 = - 6x + 6
9x = 4
x = 4/9

COMPROBACIÓN

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]
5x + 1 – [1 + 2x – 2] = 3[1 – 2x + 3]
5x + 1 - (- 1 + 2x) = 3(4 – 2x)
5x + 1 + 1 – 2x = 12 – 6x
9x = 10
x = 10/9

COMPROBACIÓN

f) 5x + 1 – [1 + 2(x – 1)] = 3[1 – (2x – 3)]
5 (10/9) + 1 – {1 + 2[10 – 1/9]} = 3{1 – [2(10/9) - 3]}
50/9 + 1 – {1 + 2/9} = 3{1 – [20/9 – 3]}
50/9 + 1 – 11/9 = 3{1 – [– 7/9]}
50/9 + 1 – {11/9} = 3{1 + 7/9}
50/9 + 1 – 11/9 = 3{16/9}
50/9 + 1 – 11/9 = 48/9 /. 9
50 + 9 – 11 = 48
59 – 11 = 48
48 = 48

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

SOLUCIÓN

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x
x + 4 – (2 + 2x) = 2 – x
x
+ 4 – 2 + 2x = 2 – x
4x
= 0
x
= 0

COMPROBACIÓN

g) x + 4 – 2[(1 + x)] = 2 – x

0 + 4 – 2 [1 + (0)]= 2 – 0
4 – 2 = 2
2 = 2





ECUACIONES
DE PRIMER GRADO CON PRODUCTOS NOTABLES:
Para
resolver estas ecuaciones se deben resolver primero los productos
notables que exista y luego encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplo:

1)
(6x + 5)(x – 1) = (2x – 3)(3x + 5)
(6x² – 6x + 5x – 5) = (6x² + 10x – 9x – 15)
6x² – x – 5 = 6x² + x - 15
10 = 2x
x = 5



2) (x – 2)² – (3 – x)² = 1

(x – 2)² – (3 – x)² = 1
x² - 4x + 4 - ( 9 – 6x + x²) = 1
x² - 4x + 4 – 9 + 6x – x² = 1
    + 2x = 6
    x = 3

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Para que se cumpla la igualdad.
(x – 3)(x + 4) = x² , x = ?

A) 12
B) 3
C) 4
D) 6
E) 0

SOLUCIÓN

(x – 3)(x + 4) = x²
x² + x (- 3 + 4) + (- 3)(4)= x²
x² + x - 12= x²
x= 12


2) En la ecuación
(x + 2)(x - 2) = (x + 4)² ,
x
es igual a:

A) 5
B) 5/2
C) - 5
D) – 5/2
E) - 2

SOLUCIÓN

(x + 2)(x - 2) = (x + 4)²
x²– 2² = x² + 8x + 16
  • 4 -16 = 8x
  • 20/8 = x
  • 5/2 = x

  1. Resuelva
    y encuentre la solución de las ecuaciones con productos notables
    que se indica:

a) (x + 3)² – 2[x (1 + x)] = x(2 – x)
b) (6x - 3) (2x + 4) = 12(x²+ 1)
c) (5x + 3)² + (8x + 15)(3x – 16) = (7x - 8)²
d) 3(x² + 5x + 2) = 3(x + 2)²
e) (x + 3)² – (x – 1)² = 7x
f) 2(x - 4)² – (x - 2)² = (x – 8)²
g) (6x + 5)² = (10x - 3)² - (16x + 1)(4x – 1)

SOLUCIÓN

a) (x + 3)² – 2[x (1 + x)] = x(2 – x)
x² + 6x + 9 – 2(x + x²) = 2x – x²
x² + 6x + 9 – 2x – 2x² = 2x – x²
2x = - 9
x = - 9/2

COMPROBACIÓN

(x + 3)² – 2[x (1 + x)] = x(2 – x)
(- 9 /2+ 3)² - 2I- 9 /2(1 – 9/2)]= - 9/2 (2 + 9/2)
( - 3/2)² - 2 [- 9/2(- 7/2)]=  -9 (13_) /2
(- 3/2)² - [63/2)]= - 117/4
9/4 - 63/4 = - 117/4 /. 4
9 - 126 = - 117
- 117 = - 117

b) (6x - 3) (2x + 4) = 12(x²+ 1)
12x² + 24x – 6x – 12 = 12x² + 12
18x = 24
x = 24/18
x = 4/3

COMPROBACIÓN

b) (6x - 3) (2x + 4) = 12(x²+ 1)
[6( 4/3) – 3][2( 4/3) + 4] = 12[( 4/3)² + 1]
(24/3 - 3)(8/3 + 4) = 12(16/9 + 1)
(5)(20/3) = 12(25/9)
100/3 = 300/9
100/3 = 100/3

c) (5x + 3)² + (8x + 15)(3x – 16) = (7x – 8)²
25x² + 30x + 9 + 24x² – 128x + 45x – 240 = 49x² – 112x + 64
59x = 295
x = 5

COMPROBACIÓN

(5x + 3)² + (8x + 15)(3x – 16) = (7x – 8)²

[5(5) + 3]² + [8(5) + 15][3(5) – 16] = [7(5) – 8]²
[25 + 3]² + [40 + 15][15 – 16] = [35 – 8]²
(28)² + (55)(- 1) = (27)²
784 – 55 = 729
729 =729

d) 3(x² + 5x + 2) = 3(x + 2)²
3x² + 15x + 6 = 3(x² + 4x + 4)
3x² + 15x + 6 = 3x² + 12x + 12
3x = 6
x = 2

COMPROBACIÓN


3(x² + 5x + 2)  = 3(x + 2)²
3[(2)² + 5(2) + 2] = 3[(2) + 2]²
3[4+ 10 + 2] = 3[4]²
3[16] = 3[4]²
48 = 48

e) (x + 3)² – (x – 1)² = 7x
x² + 6x + 9 – (x² – 2x + 1) = 7x
8x + 8 = 7x
x = - 8

COMPROBACIÓN

(x + 3)² – (x – 1)² = 7x
[(- 8) + 3]² – [(- 8) – 1]² = 7(- 8)
(- 5)² - (- 9)² = - 56
25 – 81 = - 56
-56 = - 56

f) 2(x - 4)² – (x - 2)² = (x – 8)²
2( x² – 8x + 16) – (x² – 4x + 4) = x² – 16x + 64
2x² – 16x + 32 – x² + 4x – 4 = x² – 16x + 64
x² – 12x + 28 = x² – 16x + 64
  • 36 = - 4x
    x = 9

COMPROBACIÓN


2(x - 4)² –  (x - 2)² = (x - 8)²

2(9 - 4)² – (9 - 2)² = (9 - 8)²

2(5)² – (7)² = (1)²
50 – 49 = 1
1= 1

g) (6x + 5)² = (10x - 3)² - (16x + 1)(4x – 1)
[36x² + 60x + 25] = [100x² – 60x + 9] – [64x² – 16x + 4x - 1]
36x² + 60x + 25 = 36x² – 48x + 10
108x = - 15
x = - 15/108
x = - 5/36

COMPROBACIÓN

(6x + 5)² = (10x - 3)² - (16x + 1)(4x – 1)
[6(- 5/36) + 5]² = [10(- 5/36) - 3]² - [16(- 5/36) + 1][4(- 5/36) –1]


ECUACIONES
DE PRIMER GRADO CON COEFICIENTE FRACCIONARIO:
Para resolver estas ecuaciones se debe transformar la ecuación a
coeficientes de números enteros y luego proceder a resolverla para
encontrar el valor de la incógnita
.

Ejemplo:
4/3 y – 5 = 3/2 (y – 5)
4/3y - 5 = (3/2y – 15/2) /.6
8y – 30 = 9y – 45
15 = y

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Considerando 3/x + 1 = 5, entonces x = ?
A) 4/3
B) 12
C) 3/4
D) 18
E) 11/12

SOLUCIÓN

3/x + 1 = 5 / x
3 + x = 5x
3 = 4x
x = 3/4

  1. Para que la igualdad 1 + x /2 = 1 – x /3 se cumpla, entonces el valor x es:

A) - 1/5
B) 1/5
C) 0,25
D) 2
E) 5

SOLUCIÓN

1 + x /2 = 1 – x /3 / 6
3(1 + x) = 2 (1 – x)
3 + 3x = 2 – 2x
5x = - 1
x = - 1/5

3) Resuelva y encuentre la solución de las ecuaciones con coeficiente fraccionario:

a) x/2 + 6 – x/4 = 2x/5 + 3
b) (6x – 3)/7 + 4 = 2x – x/4
c) (x – 3)/8 – (3 + 5x) / 9 = (2x + 1)/6
d) (5x – 2)/3 – (x - 8 )/4 =(x + 14)/2 – 2
e) 3 – (15 + 3x)/14 = (2x – 5)/7
f) (x – 2)/3 – (12 – x)/2= (5x - 36)/4 – 1
g) (x + 3)/4 – (x – 4)/9 = ½ – (x + 1)/4 + (2x + 1)/9

SOLUCIÓN


a) x/2 + 6 – x/4 = 2x/5 + 3

x + 6 – x = 2x + 3 / . 20

2 4 510x + 120 – 5x = 8x + 60 

3x = 60
x = 20

COMPROBACIÓN


x/2 + 6 – x/4 = 2x/5 + 3
20/2 + 6 – 20/4 = 40/5 + 3
10 + 6 – 5 = 8 + 3
11 = 11

b)  (6x – 3)/7 + 4 = 2x – x/4
6x – 3 + 112 = 2x – x
7 4 /.28 
4(6x – 3) + 112 = 56x – 7x
24x– 12 + 112 = 49x
100= 25x
x = 4

C0MPROBACIÓN

[6(4) – 3]/7 + 4 = 2(4) – (4)/4
21/7 + 4 = 8 – 1
7 = 7

c) (x – 3)/8 – (3 + 5x) / 9 = (2x + 1)/6

(x – 3)(3 + 5x) = (2x + 1)              /.72
  8              9                 6
9(x– 3) – 8(3 + 5x) = 12(2x + 1)
9x– 27 – 24 – 40x = 24x + 12
- 31x – 24x = 12 + 51
  • 55x = 63
    x = - 63/55

COMPROBACIÓN

(x – 3)/8 – (3 + 5x) / 9 = (2x + 1)/6

d) (5x – 2)/3 – (x - 8 )/4 =(x + 14)/2 – 2

(5x – 2) – (x - 8 ) =(x + 14)
– 2

     3              4           2                               /.12
4(5xn– 2) – 3(x – 8) = 6(x + 14) – 24
20x – 8 – 3x + 24 = 6x + 84 – 24
17x + 16 = 6x + 60
11x = 44
x = 4

COMPROBACIÓN


(5.4 – 2)– (4- 8 ) =(4+ 14)
– 2

3
4 2
18
-
(-4)
=
18 - 2
3
4 2 /.12
4(18)
– 3(-4) = 6(18) – 24
72
+ 12 = 108 – 24
84
= 84


SOLUCIONES
DE UNA ECUACIÓN

ax
+ b = 0

En
una ecuación lineal se tiene que:

I
) Si

a ≠ 0,
tiene
solución única.
II
) Si

a = 0 y b = 0,
tiene
infinitas soluciones
III
) Si

a = 0 y b

0, no tiene solución

Ejemplo:

px/2
+ 3x = q ¿Cuál debe ser el valor de p y q para que tenga solución
única, infinitas soluciones o no tenga solución?

Despejando
x se tiene: x = 2q/p + 6

1)
p

- 6 y q cualquier valor, el denominador es distinto de cero, la
ecuación única.

2)
p = - 6 y q = 0 la ecuación tiene infinitas soluciones.

3)
p = - 6 la ecuación no tiene solución

EJERCICIOS
RESUELTOS

1)
La ecuación de incógnita x,
3x – 2
= - kx + 5
tiene
solución única si k es distinto de:

A)
- 6
B) - 5
C) 3
D) 0
E) – 3

SOLUCIÓN

3x – 2 = - kx + 5
3x + Kx = 5 + 2
x (3 + k) = 7
x = 7 /(3+k)




La solución debe ser con x ≠ -3

2) Encuentre lo que se pide en cada ejercicio:

2.1.-
Dada la ecuación de incógnita x, 5x – 3 = kx + 2 encuentre el
valor de k para que tenga solución única.

2.2.-
Dada la ecuación de incógnita x, (px + 1)/2 + 3x = q determine los
valores de p y q para que tenga solución o soluciones:

a) única b) infinitas soluciones c) no tenga solución.

2.3.-
Para qué valores de p la ecuación(p + 2)x = 4x tiene infinitas
soluciones.

2.4.-
Determine el valor de k para que la ecuación (2k + 3)x =8x+ k no
tenga solución.

2.5.-
Diga cuánto debe valer el parámetro k para que la ecuación a²x +
b²kx = 2 no tenga solución.

2.6.-
Cuál debe ser el valor del parámetro k para que l ecuación x(k +
3) = 6. Para que esta tenga solución única.

SOLUCIÓN

2.1.- Dada la ecuación de incógnita x, 5x – 3 = kx + 2 encuentre
el valor de 
k para que tenga solución única.

5x – 3 = kx + 2
5x – kx = 5
x(5 - k) = 5
x = 5 / (5 – k) ; k ≠ 5

COMPROBACIÓN

5x – 3 = kx + 2



2.2.-Dada la ecuación de incógnita x,
(px + 1)/2 + 3x = q

determine los valores de p y q para que tenga solución o soluciones:

a)
única b) infinitas soluciones c) no tenga solución.

SOLUCIÓN

(px
+ 1)/2 + 3x = q
px + 1)
+ 3x = q

2
/.2
(Px + 1) + 6x = 2q
px – 6x = 2q – 1
x
(p – 6) = 2q – 1
x
=
2q
– 1

; p
≠6
y q ≠ 1/2

p – 6

2.3.-
Para qué valores de p la ecuación
(p
+ 2)x = 4x

tiene infinitas soluciones.

(p
+ 2)x = 4x
px
+ 2x = 4x
px
– 2x = 0
x (p - 2)= 0
x = 0



ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO
Son ecuaciones en las que aparecen una o más letras distintas, además
de la incógnita.

Ejemplo:

1) 3x – 6a = 12b / +6a
3x = 12b + 6a
x = 12b + 6a / 3
x = 2a + 6b

2) px + qx = p² – q²
x (p + q) = p² – q²
x = p² – q² / (p + q)
x = (p + q)(p – q) /(p + q)
x = p – q

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Si m²x – 3 = m + 9x entonces el valor x es:

A) m
B) 1/m -3
C) 1/m + 3
D) m - 3
E) 2

SOLUCIÓN

m²x– 3 = m + 9x
m²x– 9x = m + 3
x =(m² – 9) = m + 3
x = m + 3 /(m + 3)(m -3)
x = 1/m – 3


2) Si 3m = 3/2 entonces el valor de 2m es:

A) 9/4
B) 0
C) 1
D) 2/3
E) 4

SOLUCIÓN

3m = 3/2
3m
= 3/2 / 1/3
m
= 3/2 1/3
m
= ½

2m = 2 ▪ ½
2m = 1

3) En la ecuación a(x + b) = a² + b² + b(x – a) el valor de x es:

A) a - b
B) a + b
C) 2a + b
D) a - 2b
E) a² + b²


SOLUCIÓN

a(x + b) = a² + b² + b(x – a)
ax + ab = a² + b² + bx – ab
ax – bx = a² + b² – 2ab
x (a – b) = a² – 2ab + b²
x = (a – b)²/(a - b)
x = a - b

PROBLEMAS DE PLANTEO

Los problemas de planteo son enunciados verbales, que deben ser
traducidos a lenguaje algebraico para el planteamiento de situaciones
que se transformarán en una ecuación de primer grado. La habilidad
de hacer la correcta interpretación dependerá de la buena lectura
comprensiva del enunciado, lo que facilitará la identificación de
la incógnita, para plantear la ecuación correspondiente a los datos
entregados en el problema.

Ejemplo:

La edad de Ana es el doble que la de Berta, ambas edades suman 36 años.
Hallar ambas edades.

Solución:

X es edad de Berta
2x debe ser la edad de Ana (el doble)

x + 2x = 36
3x = 36
x = 12; Berta tiene 12 años y Ana 24 años de edad.
Luego  12 + 24 = 36 años.

EJERCICIOS RESUELTOS


APLICACIÓN A LA GEOMETRÍA

a) El dibujo muestra el área achurada de un cuadro, que se puede
escribir como 4(x – 1). ¿Cuál es el valor de x, si el área es
16?



4(x – 1) = 16
4x – 4 = 16
4x= 20
x= 5

b) El área del rectángulo de la figura es (x³ – 6 x² + 12x – 8), si uno de sus lados es (x – 2), ¿cuál es la expresión que representa la medida del otro lado?




x³– 6 x² + 12x – 8 : x – 2 = x² – 4x - 4
x³– 2x²
    • 4x² + 12x
    • 4x²+ 8 x
      4x– 8
      4x– 8
         0


Respuesta:
x² – 4x - 4

  1. Si los lados del rectángulo ABCD son (x + 1) y(x – 1), y su área es x² + 6x – 25, entonces la medida de x es:


(x + 1) (x – 1) = x² + 6x – 25
x² – x + x – 1 = x² + 6x – 25
24 = 6x
x = 24/6
x = 4

COMPROBACIÓN

(x + 1) (x – 1) = x² + 6x – 25
(4 + 1)(4 – 1) = (4)² + 6(4) – 25
5(3)= 16 + 24 – 25
15 = 15

  1. Según los datos de la figura, ¿Cuál es la hipotenusa del triángulo?


(x + 4)² + (x + 5)² = h
x² + 8x + 16 + x²
+ 10x + 25 = h
2x² + 18x + 41 = h

e) Si el perímetro del rectángulo es 48 cm, ¿Cuál es el valor de sus
lados y el área de dicho rectángulo?




2(x – 4)
+
2(x + 5)


2x – 8
+ 2x + 10
4x + 2 ->  Perímetro

(x – 4)(x + 5)= x²
+ 5x – 4x – 20 =x²
+ x – 20=(x + 5)(x – 4) ->área





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