GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA

Cualquier sistema de geometría que no está basado en el postulado paralelo de Euclídes, que dice que una línea y sólo una línea se puede trazar a través de un punto fuera de una línea dada, paralela a esa línea. La geometría Euclidiana trata de la geometría de nuestro mundo diario. El postulado paralelo de Euclídes parece intuitivamente claro, pero nadie ha sido capaz de demostrarlo.

Euclides en su obra “elementos” seleccionó 5 postulados, los que van a conformar la geometría euclidiana o geometría plana.

A raíz de este 5° postulado, durante siglos se generó la controversia, lo que dio lugar a las llamadas geometrías no euclidianas.

¿Cuántas líneas paralelas a esta línea dada podemos trazar a este punto?

¿Sólo una? .. ¿Estás completamente seguro?...¿No estarás siendo demasiado euclidiano?

Vamos a cuestionar este postulado “Por un punto exterior a una recta dada se puede trazar una sola paralela”

Tenemos dos formas de negar este postulado:

a)    Por este punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a la dada.

b)    Por este punto exterior a una recta se puede trazar más de una recta paralela a la dada.

a) Existe una geometría en que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela y esa geometría se llama geometría esférica.

Como plano tiene la superficie de la esfera. Ejemplo tenemos el globo terráqueo.

Si marcamos tres punto en la esfera.

Se establece que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela a la recta dada, porque están encerradas en un cuerpo llamado geodésicas.

b) Con la geometría hiperbólica, se establece que por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas, como ejemplo tenemos una silla de montar.

Si marcamos tres puntos en la figura hiperbólica, obtenemos: 

En esta geometría se dieron muchas de las propiedades pero la más conocida es la fórmula de Lambert y esta se refiere a que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre menor a 180°.

Concluyendo:

Las principales diferencias entre una geometría euclidiana  y la no euclidiana con respecto al quinto postulado son:


Observamos que en la geometría euclidiana la curvatura es cero.

En cambio en la geometría no euclidiana la curvatura hiperbólica es (-) negativa.

En la geometría no euclidiana elíptica, la curvatura es (+) positiva.

Si sustituimos el postulado paralelo de Euclídes con el supuesto que existe más de una línea paralela a una línea dada a través de un punto dado, tenemos una geometría no Euclidiana llamada geometría hiperbólica. Si asumimos que no existen líneas paralelas, tenemos una geometría no Euclidiana llamada geometría elíptica.

VER: La geometría no euclidiana