domingo, 5 de octubre de 2014

CATEGORÍAS DE FUNCIONES

Una función es como una máquina que se relaciona numéricamente elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto.

Lo que está haciendo esta asociación es tomar elementos de un conjunto A y a ellos asociarles elementos del conjunto B.

Ejemplo: F(3) = c

Esto significa que a el 3 la función le asocia c. Entonces c es la imagen de 3 y 3 es la preimagen de c.



El conjunto de salida de esta función se llama dominio, donde están las preimágenes. 

El conjunto de llegada de esta función se llama codominio, donde están las imágenes.


El codominio es el conjunto completo, pero no necesariamente está cubierto totalmente. 


Si tomamos los elementos cubiertos de ese conjunto por la función se llama RECORRIDO: que son todos los elementos que tienen preimagen.









FUNCIÓN INYECTIVA O UNO A UNO

Una función f: A ->B se dice inyectiva uno a uno si y sólo si elementos distintos en A le corresponden imágenes distintas en B.

Es decir cada elemento del recorrido (imagen) está asociado a sólo un elemento del dominio preimagen.


Veamos tres ejemplos:


1. f es uno a uno, porque imágenes distintas corresponden a pre- imágenes distintas.







2. También es Función epiyectiva, porque a cada imagen le corresponde una preimagen, y este es el único requisito para ser una función 1 - 1. 

3. Esta función no epiyectiva porque a la imagen c le corresponden dos preimagenes.








De los siguientes ejemplos .¿Cuáles es(son) función(es) inyectiva o uno a uno?




SOLUCIÓN:

a) No es función inyectiva o uno a uno porque a 7 es imagen de dos elementos distintos, el 2 y el 3.

b) No es función inyectiva o uno a uno ya que  f2(3) = 7 y f2(4) = 7  3 es distinto a 4.

c) Es función inyectiva o uno a uno porque imágenes distintas le corresponden pre-imágenes distintas.

d) Es función inyectiva o uno a uno. Porque a cada imagen le corresponde una pre- imagen distinta.


FUNCIÓN EPIYECTIVA O SOBRE


Una función f: A -> B se dice epiyectiva o sobre si y sólo si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A.

En una función epiyectiva cada elemento del codominio tiene asociado algún elemento del dominio.

( f: A --> B es sobre ) <=> ( Rang f = B)

Veamos unos ejemplos:

1. Todo elemento de A debe tener a lo menos una imagen en B





2. No sobra ningún elemento de la imagen, todos están cubiertos, entonces es una función sobreyectiva.











3. Este ejemplo no es función sobreyectiva, los elementos 1, 3, 6, 7 no tienen una preimagen.












De los siguientes ejemplos .¿Cuál(es) es(son) función(es) epiyectiva o sobre. 




SOLUCIÓN

a) f1 no es sobre porque 6 no pertenece al Rang de f1.

b) f2 es epiyectiva o sobre porque el Rang de f2 = B.

C) f3 no es sobre porque 6 no pertenece al Rang de f3 = {5,6,7} es diferente a B =  {5,6,7,8}

d) f4 es sobre porque el Rang  de f4 = {5,6,7,8} = B


Una función f: A-->B se dice epiyectiva o sobre si y sólo si todo elemento de B es imagen de algún elemento de A


( f: A --> B es sobre ) <=> ( Rang f = B)


FUNCIÓN BIYECTIVA


Una función f: A -> B es biyectiva si y solo si es 1 - 1 y sobre.

La función biyectiva es la vez inyectiva y epiyectiva.

Vean los ejemplos:

1.- Es una función biyectiva porque cada preimagen se asocia a una imagen distinta es 1 - 1. Y también es epiyectiva porque toda imagen del conjunto y, seasocia a una preimagen del conjunto A.

2. A cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.











3. No es biyectiva porque los elementos 3 y 4 tienen sociada a una sola imagen que es c, como no es inyectiva no biyectiva.





4. La función no es biyectiva, porque los elementos e y f no están asociados a una preimagen en el conjunto A, y ano ser sobreyectiva, no es biyectiva.













De los siguientes ejemplos .¿Cuál(es) es(son) función(es) biyectiva.



SOLUCIÓN

a) f1 no es biyectiva porque no es uno a uno ni sobre.

b) f2 no es biyectiva porque no es uno a uno.

C) f3 no es biyectiva porque no es sobre.

d) f4 es biyectiva porque es uno a uno y sobre.

Una función f: A ->;B se dice biyectiva si y sólo si es uno a uno y sobre.




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