CURVA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

 Es la distribución de probabilidad más importante en estadística, conocida por la cantidad de fenómenos que explica. Se la denomina Campana de Gauss, ya que al representar su función de probabilística la misma tiene forma de campana.

La distribución normal es una distribución de probabilidad de variable continua que describe los datos que se agrupan en torno a un valor central. Todo proceso en el que solo existan causas aleatorias de variación sigue una ley de distribución normal. Esta condición que aparece con frecuencia en fenómenos naturales (de ahí que se la denomine “normal”),

La representación gráfica es la curva de distribución normal también denominada campana de Gauss

¿Qué es la distribución normal?

Vamos a suponer que tenemos un grupo de personas que forman parte de un barrio, pueblo o país, y queremos estudiar la altura.

¿Cómo se distribuye la altura de la gente?¿la altura media de esa población?

voy midiendo a todas las personas y los resultados al final de medirlos los voy organizando. ¿Cuántos miden 1,60 cm? Entonces al final haré un gráfico. 

Una tabla de frecuencia: En el eje de de x pondré las distintas alturas que tiene la gente y en el de las y, el número de personas que tienen tales alturas.

Esta gráfica con todas sus alturas, al final nos queda una figura más o menos así. 


Este estudio, parámetro se ajusta a una curva normal, que es esta que dibujamos. Esta curva se llama curva de distribución normal.

Características:

- El valor medio de esta curva de distribución normal es 1,75 cm.
- 1,75 cm es la media de la población.
- Es la altura con el valor que se ha dado con más frecuencia, es quién más se repite. O sea es también la moda.
- Esta curva de distribución normal es simétrica con respecto a la media, es decir, se distribuye en las alturas igual para la gente más alta que aquellas de menor estatura.

- A esta curva muchos estudios, se ajustan a ella, por eso se llama curva de distribución normal.

- A la media poblacional la vamos a representar con la letra griega μ (o mu), que proviene de la palabra griega μικρός (mikrós) y que significa «pequeño».

Otro estudio que podemos hacer; es el peso de los bebes al nacer: Esta curva es normal, porque la media de los bebes al nacer es de 3,300 kilos.

La curva de distribución normal, tiene un valor central , que representamos con la letra griega μ (o mu), que es la media poblacional.

-  La curva de distribución normal. Tiene otra característica, que es el parámetro δ (la sigma, letra griega), que representa a la desviación típica, que nos sirve para ver, si una población, tenía valores heterogéneos o homogéneos, concretados todos en torno a la media. ¿Los datos están alejados o cercanos a la media?¿es una población de toda clase, o es homogénea?

Supongamos, que de una población x, les preguntamos ¿cuánto ganan?

Al hacer el estudio, vemos que la gráfica es bastante plana.

Este, es una SITUACIÓN HETEROGÉNEA, porque hay toda clase de resultados, unos muy alejados de la media por ganar mucho más dinero, como otros que ganan bastante más que el de la media. Esto nos dará una desviación típica muy elevada, porque hay toda clase de resultados y unos muy alejados de la media.

Una SITUACIÓN HOMOGÉNEA, sería que enfocamos nuestro estudio en un barrio, donde los residentes tienen sueldos parecidos. Casi todos cercanos a la media.

Una distribución normal, se denota con N(µ, δ), Si vemos N (100, 8) significa que la media es 100 y la desviación típica es 8.

Carl Friedrich Gauss, un alemán que logró la curva y la función de la distribución normal, y esta se ajusta a todas las encuestas.

Características de la función:

- La función considera la media y la desviación típica.

- Es simétrica.

- Tiene una asíntota horizontal.

- El área entre l función  y el eje horizontal es igual a 1.

¿Qué utilidad puede traer esto? Para calcular el área entre una función y el eje horizontal, lo hacemos con la integral. 

Y el resultado sería:

El resultado dx = 1, significa que toda el área que queda por debajo de la función es 1, entonces lo podemos equiparar  a toda la población en un 100 %, porque en definitiva toda la población está englobada debajo de esa función.

EJEMPLO:

Supongamos que en un determinado país la estatura de la población adulta, sigue una distribución normal de media 170 cm y desviación típica igual a 12 cm.

Solución:

N = normal, entonces la fórmula que desarrolló Gauss

¿Qué porcentaje de la población mide más de 170 cm de estatura?

Representa a los que están a la derecha de 170. Y cómo esta es la media, entonces los mayores de 170 cm son el 50%.

Si  utilizamos la fórmula da exactamente 0,5 .. el 50%.

¿Qué porcentaje de la población mide 180 cm?

¿Qué porcentaje de la población mide menos de 165 y 190 cm? El 61,37% de la población mide menos de 165 y 190.

DISTRIBUCIÓN ESTÁNDAR

¿Qué porcentaje queda por debajo del valor 1, en una distribución estándar?

Me piden el área que queda a la izquierda del valor 1.

CÁLCULO   DE   PROBABILIDADES EN   UNA   DISTRIBUCIÓN    NORMAL.

Para calcular probabilidades con variables que siguen la distribución normal se usan tablas. Pero, puesto que sería imposible tener una tabla para cada posible distribución normal, solamente la tenemos para la distribución normal estándar, es decir, para la N (0, 1).

Necesitaremos, pues, ser capaces de transformar las variables X "normales" N (µ, σ) que encontremos,  en variables Z que sigan una distribución normal estándar N (0,1). Este proceso de llevar cualquier distribución normal a una N (0, 1) se llama "tipificación de la variable".

Para tipificar X (o sea, transformarla en Z), el primer paso es "centrar" la variable; es decir, hacer que la media µ sea 0.

El siguiente paso es conseguir que la desviación típica σ sea:

1. Por tanto, para tipificar una variable lo que hemos de hacer es restar la media y dividir por la desviación típica.

Ejemplo 1: X →N (8, 1.5). Calcula P [X < 6]

 2.  para terminar y calcular la probabilidad, aplicamos lo que viene a continuación.

Con esto lo que hemos hecho es simplemente tipificar la variable transformando la probabilidad pedida en una relacionada con la normal N (0 , 1 ).

A partir de ahora nos centramos en la distribución normal N (0 , 1) y vamos a ver cómo calcular probabilidades en ella. Para distinguir, siempre que hagamos referencia a una variable N (0,1), vamos a expresarla con la letra Z.

P [ Z ≤ a] con   " a " un número positivo Un concepto asociado a cualquier distribución de probabilidad es el de Función de Distribución. 

La función de distribución en un punto se define como la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales a él. Así, la función de distribución en el punto "a", que representaremos por F(a), será:

                          F(a) = P [ X ≤ a].

Calcula las siguientes probabilidades a partir de la escena y anota los resultados en tu cuaderno:

P [Z ≤ 0.5]

P [Z ≤ 1.24]

P [Z < 2.5]

P [Z < 0]

P [Z ≤ 2.98]

P [Z ≤ 4]

F (0.82)

Existen tablas de la función de distribución de esta variable N (0,1). A continuación, se muestra la tabla con sus valores.

Por ejemplo, si quiero calcular P [Z ≤ 2.43], tenemos que buscar 2.4 en las filas y 0.03 en las columnas y vemos que en esa cuadrícula lo que aparece es .9925, por tanto, P [Z ≤ 2.43] = 0.9925

Ejercicio: Calcula las probabilidades anteriores a partir de la tabla y comprueba que sale lo mismo que con la escena.

P [ Z > a] con "a" un número positivo Aplicando las propiedades de la probabilidad, basta ver que " Z > a"  es el suceso complementario a " Z  ≤  a ". Por tanto, P [Z > a] = 1 - P [ Z ≤ a ], y esta última la calculamos utilizando las tablas.

Por ejemplo: 

P [ Z > 1.83] = 1 - P [ Z ≤ 1.83 ] = 1 - 0.9664 = 0.0336

P [ Z ≥ 0.49] = 1 - P [ Z < 0.49] =1 - 0.6879 = 0.3121

P [ Z ≤ - a]  

Por tanto, P[ Z < -a ] = P [ Z > a ] = 1 - P [ Z ≤ a ]

P [ Z < - a ] = 1 - P [ Z ≤  a]

Ejemplo :  

P [ Z ≤  -1.37 ] =  P [ Z > 1.37] = 1 - P [ Z ≤  1.37] = 1- 0.9147 = 0.0853

P [ Z < -0.04] = 1 - P [ Z < 0.04 ] =  1- 0.5160 = 0.484

P [ Z > - a ]

Aplicando las propiedades de la probabilidad, tenemos que:  P [ Z > - a] = 1 - P [ Z ≤  - a]  = 1 - ( 1 - P [ Z < a ] ) = P [ Z < a ].

Luego P [ Z > -a] = P [ Z < a].

Ejemplo: 

P [ Z ≥ - 1.14] = P [ Z < 1.14] = 0.8729

P [ Z > -3] = P [ Z < 3] = 0.9987

Probabilidad en un intervalo; P [ a < Z < b]

Vamos a ver ahora cómo calcular probabilidades de intervalos (z1, z2); es decir, P (z1

Queremos calcular la probabilidad del intervalo (z1, z2), que está marcada en la figura B, pero en la tabla sólo aparecen probabilidades del tipo:  P (Z ≤  z 0)

Dale distintos valores a z1 y a z2 y observa los gráficos. Busca la manera de calcular la probabilidad P (z1≤ Z ≤z2) a partir de las probabilidades que conocemos P (Z ≤ z0)

P [ a < Z < b] = P [ Z < b] - P [ Z < a]

VER: ¿Cómo usar la tabla de distribución normal?

VER: Calculo del área bajo la curva de una distribución normal(Uso de tablas)

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