AXIOMAS

Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración. En matemáticas, los axiomas son principios indemostrables que sirven como punto de partida para construir teorías y razonamientos deductivos.

LOS CIMIENTOS DE TODO

Los axiomas son cruciales porque permiten que los matemáticos construyan estructuras lógicas complejas con absoluta certeza. Cada teorema, cada demostración matemática, se basa en ellos. De hecho, si alguno de estos axiomas fuese falso o inconsistente, todo lo que se construyó sobre él se derrumbaría de forma inmediata como si fuese un castillo de naipes.

EJEMPLO: El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

EJEMPLO: El axioma de la igualdad dice que, si dos cosas son iguales a una tercera cosa, entonces esas dos cosas son iguales entre sí. Es decir, si a=c y b=c, podemos asegurar que a=b

Un buen ejemplo de la importancia de los axiomas se encuentra en la geometría. Durante siglos, la geometría euclidiana, basada en los axiomas propuestos por Euclides, fue considerada la única verdad sobre el espacio y las formas.

Euclides (en griego Εὐκλείδης, Eukleidēs, latín Euclīdēs) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.).​ Se le conoce como «el padre de la geometría».

​ Desarrolló su trabajo en Alejandría (antiguo Egipto) en tiempos de Ptolomeo I Sóter (323 – 283 a. C.),3​ y fundó la escuela de matemáticas de la ciudad.4

Su obra más famosa fue una compilación expositiva, sistemática y demostrada en trece libros de los conocimientos matemáticos existentes en su época denominada Elementos, considerada a menudo como el manual, tratado o libro de texto de más éxito en la historia de las matemáticas.

En ellos se deducen racionalmente las propiedades de los objetos geométricos y de los números naturales a partir de solo un pequeño conjunto de axiomas.

¿Dónde comienzan las matemáticas?

Los 9 hechos que las matemáticas dan como verdaderos, sin demostración y en los que se basan los demás teoremas de las matemáticas.

¿Cuáles son los 9 ladrillos fundamentales, sobre tales se apoyan todos los resultados de matemáticas?

Estos 9 ladrillos se llaman axiomas. Y si los conoces todos, conoces los cimientos de la matemática.

¿Cuál es el axioma A o B?  1 +1 = 2 o que un tarro con varias pelotas y otro vaso con las mismas pelotas, estos vasos son iguales.

Respuesta: El axioma es B.

Los axiomas son hechos básicos que tomamos como verdaderos. Ejemplo, si digo 1 + 1 = 2, podríamos pensar que esto es un axioma, pero no, esto es un pequeño teorema, porque si conozco la definición de 1, +, = y 2, puedo deducir que efectivamente 1 + 1 = 2. 

Puedo hacer una serie de pasajes lógicos, para llegar a demostrar que 1 + 1 = 2.

Si tratamos de probar que 1 + 1 = 2, sabemos que 1, +, =, y el 2 son símbolos.  = : Nos indica que lo que tenemos al lado derecho es igual a lo que tenemos al lado izquierdo.

El 1 y 2 son símbolos de unidades; 1 : 1 unidad 2 : 2 unidades y el símbolo +, es la operación que hace la suma.

Para que todos estos símbolos cobren vida se les debe ubicar dentro de un contexto de teoría matemática. Y para eso debemos tener noción de ¿Qué es una demostración? o ¿Qué son los axiomas?

Los axiomas son sentencias que se asumen como verdaderas, son suposiciones. Y estas suposiciones a través de demostraciones se pueden deducir sentencias que son verdaderas.

Por supuesto, los axiomas están construidos de cierta forma para que podamos obtener ciertas verdades que nos interesan. Los axiomas no hay que demostrarlos => ¿Qué es una demostración?

La demostración es una secuencia de deducciones de pasos lógicos, usando la información de los axiomas y de los teoremas, para obtener una nueva verdad, que puede formar parte de un nuevo teorema o nueva proposición.

Para salirnos de lo que es puramente abstracto, vamos a definir el contexto. Tenemos los Axiomas de Peano.

FUENTE: Baldor  - Geometría Plana y del Espacio   // National Geographic   //

EDICIÓN: Erika Rojas Portilla