La geometría es un estudio de propiedades y figuras
compuestas por líneas y puntos.
Ejemplos:
La geometría es la rama de las matemáticas que se
centra en el estudio de las propiedades de las líneas, planos, ángulos, formas
y las distancias y relaciones entre ellos. Los ejemplos incluyen el cálculo de
los ángulos de un triángulo, la longitud de una curva o la superficie de una
esfera.
¿De dónde deriva la palabra geometría?
La palabra geometría viene de las siguientes raíces: del
latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γῆ gē,
‘tierra’, y μετρία metría, ‘medida’.
Euclides en
su obra “elementos” seleccionó 5 postulados, los que van a conformar la
geometría euclidiana o geometría plana.
En la escuela nos enseñan
aritmética simple para contar; la suma, resta, multiplicación y la división,
todas estas reglas simples, que utilizamos ¿Cómo sabemos que son correctas? Para
dar un trasfondo lógico a todo esto, conozcamos a Giusseppe Peano.
Los axiomas de Peano o
postulados de Peano son un sistema de axiomas de segundo orden
para la aritmética ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX.
Los axiomas de Peano
describen las propiedades aritméticas de los números naturales, normalmente
representados como un conjunto N.
El primer axioma indica:
El {0} es un número natural
El
1 no es el sucesor de ningún número natural.
Si
hay dos números naturales n y m con el
mismo sucesor, entonces n y m son el
mismo número
La formulación original de
Peano usaba al 1 como el primer número natural, en lugar del 0, que se incluía
en los axiomas de Formulario Matemático. Generalmente se decide en cada caso si
se incluye o no al 0 como primer número natural, dependiendo de si se necesita
o no.
Los siguientes cuatro
axiomas son:
• Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un
número natural.
Todo número natural {n}
tiene un sucesor n*. (Este axioma es usado para definir posteriormente la
suma).
El 0 no es el sucesor de
ningún número natural.
Si hay dos números naturales
n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
Si el 0 pertenece a un
conjunto cualquiera, y dado un número natural cualquiera, el sucesor también
pertenece al conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese
conjunto.
Este último axioma es el
principio de inducción matemática.
FUENTE: Baldor - Geometría Plana y del Espacio // National Geographic //
Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración. En matemáticas, los axiomas son principios indemostrables que sirven como punto de partida para construir teorías y razonamientos deductivos.
LOS CIMIENTOS DE TODO
Los axiomas son cruciales porque permiten que los matemáticos construyan estructuras lógicas complejas con absoluta certeza. Cada teorema, cada demostración matemática, se basa en ellos. De hecho, si alguno de estos axiomas fuese falso o inconsistente, todo lo que se construyó sobre él se derrumbaría de forma inmediata como si fuese un castillo de naipes.
EJEMPLO: El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
EJEMPLO: El axioma de la igualdad dice que, si dos cosas son iguales a una tercera cosa, entonces esas dos cosas son iguales entre sí. Es decir, si a=c y b=c, podemos asegurar que a=b
Un buen ejemplo de la importancia de los axiomas se encuentra en la geometría. Durante siglos, la geometría euclidiana, basada en los axiomas propuestos por Euclides, fue considerada la única verdad sobre el espacio y las formas.
Euclides (en griego Εὐκλείδης, Eukleidēs, latín Euclīdēs) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.). Se le conoce como «el padre de la geometría».
Desarrolló su trabajo en Alejandría (antiguo Egipto) en tiempos de Ptolomeo I Sóter (323 – 283 a. C.),3 y fundó la escuela de matemáticas de la ciudad.4
Su obra más famosa fue una compilación expositiva, sistemática y demostrada en trece libros de los conocimientos matemáticos existentes en su época denominada Elementos, considerada a menudo como el manual, tratado o libro de texto de más éxito en la historia de las matemáticas.
En ellos se deducen racionalmente las propiedades de los objetos geométricos y de los números naturales a partir de solo un pequeño conjunto de axiomas.
¿Dónde comienzan las matemáticas?
Los 9 hechos que las matemáticas dan como verdaderos, sin demostración y en los que se basan los demás teoremas de las matemáticas.
¿Cuáles son los 9 ladrillos
fundamentales, sobre tales se apoyan todos los resultados de matemáticas?
Estos 9 ladrillos se llaman axiomas. Y si los conoces todos, conoces los cimientos de la matemática.
¿Cuál es el axioma A o B? 1 +1 = 2 o que un tarro con varias pelotas y otro vaso con las mismas pelotas, estos vasos son iguales.
Respuesta: El axioma es B.
Los axiomas son hechos básicos que tomamos como verdaderos. Ejemplo, si digo 1 + 1 = 2, podríamos pensar que esto es un axioma, pero no, esto es un pequeño teorema, porque si conozco la definición de 1, +, = y 2, puedo deducir que efectivamente 1 + 1 = 2.
Puedo hacer una serie de pasajes lógicos, para llegar a demostrar que 1 + 1 = 2.
Si tratamos de probar que 1 + 1 = 2, sabemos que 1, +, =, y el 2 son símbolos. = : Nos indica que lo que tenemos al lado derecho es igual a lo que tenemos al lado izquierdo.
El 1 y 2 son símbolos de unidades; 1 : 1 unidad 2 : 2 unidades y el símbolo +, es la operación que hace la suma.
Para que todos estos símbolos cobren vida se les debe ubicar dentro de un contexto de teoría matemática. Y para eso debemos tener noción de ¿Qué es una demostración? o ¿Qué son los axiomas?
Los axiomas son sentencias que se asumen como verdaderas, son suposiciones. Y estas suposiciones a través de demostraciones se pueden deducir sentencias que son verdaderas.
Por supuesto, los axiomas están construidos de cierta forma para que podamos obtener ciertas verdades que nos interesan. Los axiomas no hay que demostrarlos => ¿Qué es una demostración?
La demostración es una secuencia de deducciones de pasos lógicos, usando la información de los axiomas y de los teoremas, para obtener una nueva verdad, que puede formar parte de un nuevo teorema o nueva proposición.
Para salirnos de lo que es puramente abstracto, vamos a definir el contexto. Tenemos los Axiomas de Peano.
FUENTE: Baldor - Geometría Plana y del Espacio // National Geographic //
Es el usado en la ciencia y principalmente, en la Geometría. Este método consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos de manera tal, que se obtienen nuevas proposiciones como consecuencia lógica de otras anteriores.
No todas las propiedades son consecuencia de otras. Hay algunas que se aceptan como ciertas por sí mismas son los axiomas y postulados.
El papiro de Ahmes, más
conocido como papiro matemático Rhind o simplemente papiro Rhind, es un
documento de carácter didáctico que contiene diversos problemas matemáticos.
Centuria (18 - 16 a. d. C). Está redactado en escritura
hierática y mide unos seis metros de longitud por 35 cm de anchura. Se
encuentra en buen estado de conservación. El texto, obra del escriba Ahmes,
bajo el reinado de Apofis I, es copia de un documento del siglo XIX a. C. de época
de Amenemhat III.
Fue escrito por el escriba
Ahmes (A'h-mosè) a mediados del siglo XVI a. C., a partir de textos de
trescientos años de antigüedad, según relata el propio Ahmes al principio del
texto.
Ahmes (o, más exactamente,
Ahmose) fue un antiguo escriba y matemático egipcio. Nacido aproximadamente en
el año 1660 a. C., en Egipto; y fallecido
alrededor del año
1620 a. C. (40 años),
en Egipto, vivió
durante el Segundo Periodo Intermedio y el comienzo de la dinastía XVIII (la primera dinastía del Imperio nuevo).
Ahmose fue el primer
matemático cuyo nombre se conoce. Fue el copista del Papiro Rhind
ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Método egipcio. Problema 26 papiro Ahmes.
Ecuaciones de primer grado
usando el método egipcio llamado MÉTODO DE LA REGLA FALSA.
En este papiro se encuentra
una colección de problemas matemáticos. Son 87 cuestiones de temas diversos:
fracciones, cálculo de áreas, cálculo de volúmenes, progresiones, reglas de
tres, ecuaciones lineales, repartos proporcionales y trigonometría.
Cada uno de los problemas
está claramente explicado y ello nos permite hacer algo espectacular, algo que
va mucho más lejos que admirar la grandeza de una pirámide: es adentrarnos en
cómo los antiguos egipcios razonaban las cosas, es decir, en su pensamiento
mismo
El problema 26 del papiro.
Se trata de un problema en
dónde para resolverlo hay que plantear una ecuación de primer grado.
Este es el enunciado del
problema 26 del papiro de Ahmes:
"Una cantidad y su
cuarta parte suman 5. ¿Cuál es esta cantidad?"
El papiro fue encontrado en
el siglo XIX, entre las ruinas de una edificación próxima al Ramesseum, y
adquirido por Henry Rhind en 1858. A su muerte en 1864, el papiro fue donado
junto con el rollo de cuero matemático
egipcio al Museo Británico
de Londres.
Lamentablemente, el papiro
se encontraba dividido en dos partes, y faltaba completamente una sección central de unos 18 cm. El corte pudo
haber sido realizado por ladrones en época
moderna con el fin de aumentar el valor de venta.
En 1922 se encontraron por
casualidad varios fragmentos de esta parte del papiro en la colección de la New
York Historical Society, que resultaron claves para entender aspectos de la
obra completa.
El documento se compone de
14 láminas, de unos 40 por 32 cm, y se encuentra dividido en varias partes: los
papiros EA 10057 y EA 10058 se encuentran en el Museo Británico aunque no están
expuestos al público.10 Los fragmentos recuperados
de la sección
perdida (37.1784E) se guardan en el Museo de Brooklyn.
El papiro contiene 87
problemas matemáticos con cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo
de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, regla de tres,
ecuaciones lineales y trigonometría básica.
Ahmes, quién dejó sentado que el área del círculo (B) era casi 3 1/7 veces el área de un cuadrado (A) que se trazara con su radio.
Al llevar a la realidad las magistrales obras de las pirámides, es evidente que conocían los egipcios como trazar una perpendicular a una línea. Asimismo, sabían hallar el área del cuadrado yel triángulo y el uso de la plomada.
