FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO 90 º

FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS DEL ÁNGULO DE 60º

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS AGUDOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El  triángulo rectángulo se caracteriza porque uno de sus ángulos mide 90 º.

 

Sea α un ángulo agudo en el triángulo rectángulo ABC.

de catetos a y b y de hipotenusa c. 

Las razones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente y se definen:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Las identidades siguientes, se deducen directamente de las definiciones de las razones trigonométricas.

Una identidad es una igualdad que se verifica para todos los valores posibles de una variable.

fgura 1

En el triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1), se definen las siguientes razones:

RELACIONES FUNDAMENTALES E IDENTIDADES

Las identidades siguientes, se deducen directamente de las definiciones de las razones trigonométricas.

RELACIONES FUNDAMENTALES

Estas relaciones son válidas para todos  los valores de

 en los que las funciones contenidas en ellas están definidas.

Así,  

es válida para todos los valores de .

Mientras que    es válida  para todos los valores de   en los que  está definida, es decir, para  n.90 donde n es impar . Obsérvese que en los valores excluidos de , cos  = 0 y sen 0.

EJEMPLO:

Demostrar las siguientes relaciones:

RESULTADOS:

EJERCICIO PROPUESTO:

Demuestra las siguientes relaciones:

EJERCICIOS RESUELTOS:

1) Efectuar las operaciones siguientes:

RESULTADOS:

NOTA: Aquí usamos SUMA POR SU DIFERENCIA: Es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos, es decir.

(a + b) (a - b) = a ² - b ²

NOTA: Aquí usamos la fórmula del Cuadrado del binomio: Es una suma algebraica que se suma por sí misma, es decir, si tenemos el binomio a + b, el cuadrado de ese binomio es (a + b) (a + b) y se expresa como (a + b)2

Ejemplo: Al elevar al cuadrado el binomio: x+z, la multiplicación la haremos de la siguiente forma:

NOTA; Aquí usamos la fórmula del cuadrado del binomio.

NOTA: Aquí usamos suma de fracciones.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DE 30º

Un triángulo equilátero dentro de una
circunferencia de radio 1

Si enfocamos nuestra atención al triángulo equilátero, vemos que sus ángulos internos miden 60° (por tratarse de un triángulo equilátero).  

Y suponiendo que sus lados midan, por ejemplo, la cantidad de 1 (radio 1), se tiene la siguiente figura:

 Si ponemos a parte el triángulo formado por el radio de la circunferencia y los segmentos vertical y horizontal, nos queda un triángulo rectángulo cuyo ángulo más pequeño mide 30º y el opuesto mide 60º, ya que la suma de los tres ángulos debe ser 180º y sabemos que tiene un ángulo de 90º.

Todo parte de dos triángulos: 

Al aplicar el Teorema de Pitágoras:

Se obtiene que a = √3. 

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DE 0º

Para 0º solamente tenemos un segmento horizontal. Por tanto, el seno es 0 y el coseno es 1, que es positivo por estar a la derecha del eje y:

VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En trigonometría plana, es fácil de encontrar el valor exacto de las funciones, gracias a la ayuda de una circunferencia,de radio ,  triángulos rectángulos y el uso de identidades trigonométricas en conjunto con el teorema de Pitágoras.




Recordemos: 

1)   Razones trigonométricas de 0º

2)   Razones trigonométricas de 30º

3)   Razones trigonométricas de 45º

4)   Razones trigonométricas de 60º

5)   Razones trigonométricas de 90º

6)   Razones trigonométricas de 180º

7)   Razones trigonométricas de 270º

8)   Razones trigonométricas de 360º