PROBLEMAS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES

P. Juan Verdoy / M. J. Beltrán / M. J. Peris - 

ÍNDICE

Prólogo 
Introducción 

Unidad 1.Estadística descriptiva univariante
Introducción teórica 
Objetivos  
Enunciados  
Ayudas  
Soluciones 

Unidad 2. Estadística descriptiva bivariante
Introducción teórica 
Objetivos 
Enunciados 
Ayudas 
Soluciones 

Unidad 3. Números índice 
Introducción teórica 
Objetivos 
Enunciados 
Ayudas.
Soluciones 

 Unidad 4. Series temporales 
 Introducción teórica 
Objetivos
Enunciados
Ayudas 
Soluciones
Bibliografía 

Prólogo 

La estadística es una ciencia con base matemática referente a la recogida, análisis e interpretación de datos que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio.

Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad, y es usada para la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales. Podemos considerar dos ramas en la Estadística:

a) La estadística descriptiva, que se dedica a los métodos de recogida, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos en estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, clústeres, etc.

b) La inferencia estadística se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias sobre la población de estudio.

Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas sí/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelización de relaciones entre variables (análisis de regresión).

Otras técnicas de modelización incluyen anova , series de tiempo y minería de datos. Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada.

Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la cual hace referencia a las bases teóricas de la materia. La palabra «estadística» también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, etc.

En su origen, por lo tanto, la estadística estuvo asociada a datos para ser utilizados por el gobierno y cuerpos administrativos (a menudo centralizados). La colección de datos sobre estados y localidades continúa ampliamente a través de los servicios de estadística nacionales e internacionales.

En particular, los censos suministran información regular sobre la población. Los métodos estadístico matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, que data desde la correspondencia ciertamente entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654).

Christian Huygens (1657) da el primer tratamiento científico que se conoce en la materia.

El Ars Conjectandi  (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y la Doctrina de Posibilidades  (1718) de Abraham de Moivre estudiaron la materia como una rama de las matemáticas.

En la era moderna, el trabajo de Kolmogorov ha sido un pilar en la formulación del modelo fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través de la estadística. La teoría de errores se puede remontar a la Opera Miscellanea (póstuma,  1722)  de  Roger  Cotes  y  al  trabajo preparado por Thomas Simpson en 1755 (impreso en 1756) que aplica por primera vez la teoría de la discusión de errores de observación.

La reimpresión (1757) de esta obra incluye el axioma de que errores positivos y negativos son igualmente probables y que hay unos ciertos límites asignables dentro de los cuales se encuentran todos los errores, se describen errores continuos y una curva de probabilidad.

Pierre-Simon Laplace (1774) hace el primer intento de deducir una regla para la combinación de observaciones desde los principios de la teoría de probabilidades. Laplace representó la ley de probabilidades de errores mediante una curva y dedujo una fórmula para la media de tres observaciones.

También, en 1871, obtiene la fórmula para la ley de facilidad del error (término introducido por Lagrange, 1744)  pero  con  ecuaciones  inmanejables.  Daniel  Bernoulli  (1778)  introduce  el principio  del  máximo  producto  de  las  probabilidades  de  un  sistema  de  errores concurrentes.

El método de mínimos cuadrados, el cual fue usado para minimizar los  errores  en  mediciones,  fue  publicado  independientemente  por Adrien-Marie Legendre (1805), Robert Adrain (1808) y Carl Friedrich Gauss (1809). Gauss había usado el método en su famosa predicción de la localización del planeta enano Ceres en 1801. 

Pruebas adicionales fueron escritas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837) , Friedrich Bessel (1838), WF Donkin (1844, 1856), John Herschel (1850) y Morgan Crofton (1870). Otros, Col van Ellis (1844), Augustus De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). El siglo xix   incluye  autores  como  Laplace,  Silvestre  Lacroix  (1816),  Littrow (1833), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoran la presentación de la teoría. Adolphe Quetelet (1796-1874) fue otro importante fundador de  la  estadística  y  quien  introdujo  la  noción  del  «hombre  promedio»  ( l’homme moyen ) como un medio de entender los fenómenos sociales complejos como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o tasas de suicidios. 

Durante el siglo xx , la creación de instrumentos necesarios para asuntos de salud pública (epidemiología, estadística, etc.) y propósitos económicos y sociales (tasa de desempleo, econometría, etc.) necesitó de avances sustanciales en las prácticas estadísticas.

Hoy el uso de la estadística se ha extendido más allá de sus orígenes como un servicio al Estado o al gobierno. Personas y organizaciones usan la estadística para entender datos y tomar decisiones en ciencias naturales y sociales, medicina, negocios y otras áreas.

La estadística es entendida generalmente no como un subárea de las matemáticas sino como una ciencia diferente «aliada». Muchas universidades tienen departamentos  académicos  de  matemáticas  y  estadística  separadamente. 

La  estadística se enseña en departamentos tan diversos como psicología, educación y salud pública.

Al aplicar la estadística a un problema científico, industrial o social se comienza con un proceso o población a ser estudiado. Esta puede ser la población de un país, la de grandes cristalizados en una roca o la de bienes manufacturados por una fábrica en particular durante un período dado. También podría ser un proceso observado en varios instantes y los datos recogidos de esta manera constituyen una serie de tiempo. 

Por  razones  prácticas,  en  lugar  de  compilar  datos  de  una  población  entera, usualmente se estudia un subconjunto seleccionado de la población, llamado muestra. Datos sobre la muestra son recogidos de manera observacional o experimental. Los datos son entonces analizados estadísticamente lo cual sigue dos propósitos: descripción e inferencia. 

El concepto matemático fundamental utilizado para entender la aleatoriedad es el de  probabilidad.  La  estadística  matemática  (también  llamada  teoría  estadística) es la rama de las matemáticas aplicadas que usa la teoría de probabilidades y el análisis matemático para examinar las bases teóricas de la estadística. 

El uso de cualquier  método  estadístico  es  válido  solo  cuando  el  sistema  o  población  bajo consideración satisface los supuestos matemáticos del método. El mal uso de la estadística puede producir serios errores en la descripción e interpretación, afectando  las  políticas  sociales,  la  práctica  médica  y  la  calidad  de  estructuras  tales como puentes y plantas de reacción nuclear. Incluso cuando la estadística es correctamente aplicada, los resultados pueden ser difícilmente interpretados por un no experto. 

Por ejemplo, el significado estadístico de una tendencia en los datos, que mide el grado en que la tendencia puede ser causada por una variación aleatoria en la muestra, puede no estar de acuerdo con el sentido intuitivo. El conjunto de habilidades estadísticas básicas (y el escepticismo) que una persona necesita para manejar información en el día a día se refiere como cultura estadística. 

Este libro de problemas con ayudas es la primera parte de un conjunto de dos que comprenderá todas las fases del proceso estadístico. En este volumen se estudian mediante problemas los principales rasgos de la estadística descriptiva de una variable, de dos variables, los números índices y series temporales. 

La novedad que presenta este manual es que todos los ejercicios tienen dos tipos de ayudas que aportan «pistas» de cómo resolver los ejercicios y los problemas. Así  pues, el alumno puede consultarlas siempre que no sepa por dónde continuar mientras está resolviendo un ejercicio. De esta manera el estudiante evitará la desagradable sensación que una persona tiene cuando abandona la resolución de un ejercicio. 

Además, también se incluyen las soluciones completas de los ejercicios, muchos de ellos comentados con profundidad. Es conveniente dejar claras dos cuestiones relevantes. La primera de ellas es que no hay que sacar la falsa idea de entender la estadística como una mera colección de métodos o técnicas útiles para el tratamiento de la información o, incluso lo que es más, concluir que la estadística es lo que hacen los estadísticos. 

Aunque estas dos ideas no son desacertadas, tampoco permiten tener una visión completa de lo que es la estadística. La segunda es que nuestras decisiones se basan, cada vez más, en un flujo creciente de información que necesitamos sintetizar para evitar aquello de los árboles que impiden ver el bosque. Nuestras decisiones son de tipo condicionado, ya que las mismas se toman en función de algún tipo de información, tanto pasada como presente. 

Este libro pretende ser un complemento didáctico de la teoría básica de estadística que se puede encontrar en otros numerosos libros que hoy en día se pueden encontrar en nuestras bibliotecas, así como sobre todo el manual Introducción a la estadística aplicada a las ciencias sociales  de la Col·lecció Sapientia de Publicacions de la uji ,  que puede considerarse el manual teórico que complementa este libro. En definitiva, nuestra humilde pretensión es que este texto sirva de ayuda complementaria a todos aquellos estudiantes que se enfrentan (muchas veces con poco éxito) a la resolución de problemas de estadística descriptiva.

Los autores

Introducción

El presente libro de problemas se puede considerar como el primero de los dos complementos del manual Introducción a la estadística aplicada a las ciencias sociales  de la Colecció Sapientia de Publicacions de la Universitat Jaume I, el cual consta fundamentalmente de contenidos teóricos, quedando el apartado de problemas en un segundo plano. 

Con este nuevo texto, basado casi exclusivamente en problemas resueltos, se completa parte del manual teórico y se facilita al estudiante una herramienta excelente para consolidar el aprendizaje de sus contenidos. Los problemas cuentan con ayudas, siendo la última su resolución completa. Es decir, cada uno de los problemas tiene dos tipos de ayudas, que no son más que una breve información que puede facilitar al estudiante el arduo trabajo de resolver el problema. 

Las ayudas de tipo 1 son una mera orientación que tiene por objeto manifestar los contenidos que se deben consultar para poder resolver el problema. La ayuda de tipo 2 da bastante más información que la primera. Así, en muchas ayudas de este tipo se muestra parte de la resolución del ejercicio. Finalmente, en la resolución del problema se muestra con todo detalle los contenidos estadísticos que se utilizan y numerosos comentarios que permiten intuir la resolución del problemas similares. 

Además, los problemas están clasificados por objetivos, ya que de esta manera el estudiante sabe en cada momento qué contenidos se están trabajando y, por tanto, puede consultar el manual teórico para revisar aquellas cuestiones en las que presente dificultades. Por otra parte, este manual está dividido en cuatro unidades que hacen referencia a la estadística descriptiva univariante, la estadística descriptiva bivariante, los números índices y, finalmente, las series temporales. 

Cada unidad está dividida en cuatro bloques: en el primero se proponen los enunciados de los problemas clasificados por objetivos. La segunda parte proporciona únicamente las ayudas de tipo 1 En el tercer bloque las ayudas son del tipo 2. 

El hecho de que para un mismo problema no se encuentren los dos tipos de ayudas conjuntamente tiene la pretensión de que el estudiante realice la consulta detallada de las ayudas, reforzando la idea de pensar antes de consultar. En la última parte se muestran las resoluciones completas de los problemas, las cuales están repletas de comentarios, gráficos y diagramas que facilitan su comprensión.

UNI D A D  1

Estadística descriptiva univariante

1 .- Introducción teórica 

Como elementos introductorios de este capítulo, es conveniente recordar definiciones de elementos importantes, ya desarrolladas en diferentes materiales como los libros referenciados 1, 2 y 3, tales como:

Población: Es el conjunto de elementos, individuos o los sujetos a estudio y de los que se quiere obtener un resultado.

Parámetro: Es una medida descriptiva de la población total, de todas las observaciones.

Muestra: Conjunto de elementos que forman parte de la población total a la que representa.

Tamaño de la muestra: Es el número de elementos u observaciones que forman la muestra.

Estadístico: Es una medida descriptiva de la muestra y que estima el parámetro de la población.

Variables cualitativas y cuantitativas

Las variables en las que únicamente es posible un recuento del número de elementos de la población o muestra que poseen una de sus modalidades se llaman variables cualitativas o atributos (libros referenciados 4, 8, 14 y 19).

 Las modalidades de estos tipos de variables ni siquiera admiten una gradación y mucho menos una medida numérica. Son variables como el sexo de una persona, la confesionalidad, etc. Las modalidades que pueden tomar se denominan categorías. Así, las categorías de la variable sexo son masculino y femenino.

El resto de variables  en  las  que,  además  de  admitir  el  recuento  del  número  de elementos de la población o muestra que poseen una de sus modalidades, también es posible asignarle una medida a la propia modalidad, se denominan variables cuantitativas. Son por ejemplo el peso, la altura, el sueldo mensual, el grado de dureza, etc.

Estas últimas variables, las cuantitativas, también pueden clasificarse en discretas y continuas. Una variable continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado. Independientemente de la proximidad de dos observaciones, si el instrumento de medida es suficientemente preciso, siempre se podrá encontrar una tercera observación entre las dos primeras.

Una variable discreta está limitada para ciertos valores, generalmente números enteros. Se diferencian de las continuas en que, dadas dos observaciones suficientemente próximas, no se puede encontrar ninguna observación de la variable entre ellas. 

Son ejemplos el número de hijos de las familias, el número de vehículos que tienen las empresas, el número de turistas que visitan un país, etc. 

La variable estadística se denota con mayúsculas. Asimismo, cada una de estas variables puede tomar distintos valores siendo su notación la siguiente: X = (x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k-2 , x k-1 , x k )

Es importante remarcar que para calcular frecuencias acumuladas es necesario que las variables por estudiar sean ordenables, es decir, debe ser posible establecer una relación de orden entre las variables. En otros casos, no tiene ningún sentido realizar estos cálculos.

Estas  definiciones,  permiten  resumir  los  datos.  Sin embargo, la  manera  más adecuada para sintetizar los datos es mediante lo que se denomina tabla de frecuencias. En ella aparecen distribuidas los datos según las frecuencias. Al  mismo  tiempo  refleja  todos  los  conceptos  mencionados  con  anterioridad.

 En ocasiones el número de datos diferentes que se está estudiando es muy numeroso. Entonces, si se decidiera construir una tabla como la anterior, la columna relativa a las Xi sería muy extensa, únicamente hay que pensar en doscientos datos diferentes dentro de una recopilación de cuatrocientos.

La solución a esta cuestión consiste en agrupar los datos en intervalos o clases, de modo que cada dato pertenezca a uno y solo un intervalo. En consecuencia, los conceptos relativos a la frecuencia que hasta ahora se referían a los valores diferentes de los datos, al realizar la agrupación, deben hacer referencia a los intervalos.

Esta práctica, a pesar de que ayuda a resumir y clarificar la información, tiene en cambio un inconveniente: se pierde información sobre la propia distribución de datos. Al agruparlas en los intervalos los valores reales se «difuminan».

Sin embargo, en la literatura matemática es posible encontrar varias reglas para calcular el número adecuado de intervalos a partir del número de datos, como que no puede superar el 10 % del número total de datos o como el método de la raíz. Según este método el número de clases es igual a la raíz cuadrada del número de datos:

Gráficos estadísticos

Los gráficos también son muy útiles para describir los conjuntos de datos (referencias 15, 20 y 23). De hecho, un gráfico estadístico permite formarse una primera idea de la distribución de los datos tan solo con una observación. No obstante, hay que tener cuidado pues en algunas ocasiones los gráficos presentan «tendencias» no atribuibles al quehacer matemático.

Medidas de posición

Son coeficientes que tratan de representar una determinada distribución; pueden ser de dos tipos, centrales y no centrales.

Medidas Centrales

Media aritmética

Es el valor que habitualmente se toma como representación de los datos. Es la suma de todos los valores de la variable dividida entre el número total de elementos. Si los datos están agrupados, se toma la marca de la clase como representante del intervalo y se realizan todos los cálculos como si los valores de la variable fueran las marcas de las clases.

Se utiliza para calcular el valor medio de magnitudes expresadas en términos relativos como velocidades, tiempos, rendimiento, tipo de cambio monetario, etc. Su principal contrariedad es que cuando algún valor de la variable es 0 o próximo a cero no se puede calcular.

 En muchas ocasiones, no es necesario aplicar la fórmula anterior. Únicamente hay que tener presente el concepto de media aritmética.

Mediana 

La mediana es el valor de la variable que divide las observaciones en dos grupos de igual número de elementos, de modo que en el primer grupo todos los datos sean menores o iguales que la mediana, y en el otro grupo, todos los datos sean mayores o iguales. Por lo tanto, es una cantidad que indica orden dentro de la ordenación.

Es evidente que lo que se pretende es calcular un representante del intervalo con el objeto de fijar la mediana en un valor. Una posibilidad hubiera sido considerar la marca de clase, sin embargo, el criterio usualmente más seguido no es este sino el de la fórmula antes mencionada.

 En esta fórmula en primer lugar se considera el supuesto de que los datos están uniformemente distribuidos dentro de cada intervalo. Teniendo este hecho en cuenta, se puede observar que la fórmula es una relación de proporcionalidad entre las posiciones que ocupan los valores de la variable y la amplitud de los intervalos.

Moda

Es el valor de la variable que más veces se repite, es decir, el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Pueden existir distribuciones con más de una moda: bimodales, trimodal, etc.

Del mismo modo que la mediana, la fórmula tiene el supuesto de que los datos están uniformemente repartidas dentro de cada intervalo. Además, siguiendo este criterio se puede observar que la moda estará más cerca de aquel intervalo adyacente con mayor frecuencia absoluta.

Medidas no Centrales

Percentiles o cuantiles

Son medidas de localización similares a la mediana. Su función es informar del valor de la variable que ocupará la posición (en tanto por ciento) que nos interese respecto de todo el conjunto de observaciones.

Podemos decir que los cuantiles son unas medidas de posición que dividen la distribución en un cierto número de partes.

Medidas de dispersión

Son complementarias de las de posición, en el sentido que señalan la dispersión del conjunto de todos los datos de la distribución, respecto de la medida o medidas de localización adoptadas.

Recorrido

Se define como la diferencia entre el mayor y menor valor de las variables de una distribución de datos, es decir:

Re = max  (x i ) − min( x i )

Recorrido intercuartílico

Se define como la distancia que hay entre el tercer y el primer cuartil, es decir:

Re = C 3 − C 1

Estos estadísticos tienen mucho interés en la Estadística Inferencial como se verá en capítulos posteriores.

Las medidas de dispersión absolutas son unos indicadores que presentan dificultades a la hora de comparar la representatividad de las medidas de tendencia central entre dos distribuciones de datos diferentes. Por ello, a veces se recurre a medidas de dispersión relativas.

Curtosis 

Para estudiar el grado de curtosis de una distribución hay que tomar un modelo teórico como referencia, la representación gráfica tenga forma de campana simétrica. No es extraño pues, que se tome el modelo normal, ya que, como ya se ha mencionado con anterioridad, se puede decir que es el modelo campaniforme por antonomasia.

De esta manera, tomando este modelo como referencia, se dice que una distribución es leptocúrtica si es más apuntada que la distribución normal. Si es menos apuntada se le llama platicúrtica.  Finalmente, si tiene el mismo apuntamiento que una distribución normal se le llama mesocúrtica.

Del mismo modo que en el caso del estudio de la asimetría, hay un coeficiente que permite clasificar los datos según la curtosis. En este caso, el coeficiente no es tan intuitivo, por lo que únicamente se dará la definición y su interpretación. Como en el caso de la otra medida de forma, este indicador tampoco tiene dimensión.

La idea del apuntamiento de una distribución de datos sale de la comparación de la frecuencia de los valores centrales de una distribución con la frecuencia de los valores centrales en un modelo teórico normal que tenga la misma media y la misma desviación típica que la distribución que se está estudiando.

Por último, debemos remarcar que el estudio de la curtosis  no implica necesariamente que las distribuciones sean simétricas. Así, por ejemplo, nos podríamos encontrar distribuciones de observaciones que sean leptocúrticas y, al mismo tiempo, asimétricas positivas.

Cajas y bigotes (Box-plot)

Un  diagrama  de  cajas  y  bigote  (conocido  también  como Box and whisker plot en inglés), es una representación gráfica de los datos que permite determinar con mucha facilidad y de una manera visual la tendencia central, la variabilidad, la asimetría  y  la  existencia  de  valores  anómalos  de  un  conjunto  de  observaciones ( outliers ). De alguna manera, se puede decir que es uno de los gráficos que más y mejor resumen los conjuntos de datos.

El diagrama de cajas emplea el resumen de los 5 números: la menor observación, la mayor observación, el primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil.

Hay diferentes medidas de concentración, pero en el texto se va a estudiar el índice de Gini; por ser un coeficiente, será un valor numérico. Para obtenerlo es necesario realizar un conjunto de cálculos.

Por otra parte, si se representan gráficamente los q i  en el eje vertical y los p i  en la horizontal se obtendrá la curva de concentración o curva de Lorenz. Se puede comprobar que esta curva resultante siempre aparecerá «por debajo» de la diagonal del primer cuadrante, la cual representa la concentración mínima. Además, cuando más se aproxime esta curva a la diagonal, menor será la concentración.

A continuación, se desarrollará los objetivos y los ejercicios correspondientes a este capítulo. Cabe recordar que el material desarrollado y el resultado de algunos ejercicios son aplicaciones desarrolladas con el software R (referencias bibliográficas 13, 18 y 22).

Objetivos

Los problemas deben permitir que los alumnos alcanzan los objetivos didácticos:

1 a) Conocer los conceptos básicos de las variables estadísticas.

1 b) Saber clasificar las variables estadísticas.

1 c) Saber analizar y realizar tablas de frecuencias de un conjunto de datos.

1 d) Conocer las diferencias entre las tablas de datos sin agrupar y las tablas de datos agrupados.

1 e) Saber interpretar y construir los principales gráficos estadísticos.

1 f) Conocer los conceptos y saber realizar los cálculos de las medidas de tendencia central y de dispersión. Concretar con la aplicación del coeficiente de variación de Pearson en aquellas situaciones que lo requieran.

1 g) Conocer los principales estadísticos que miden la forma de los datos a partir de los gráficos.

1 h) Saber calcular  e  interpretar  el  índice  de  Gini,  así  como  saber  realizar  la curva de Lorenz para medir la equidad de un reparto.

 La  tabla  siguiente  nos  muestra  cómo  están  distribuidos  los  objetivos  según  los ejercicios:

Ayudas

En este apartado se presentarán las ayudas a emplear en caso de ser necesario a la hora de realizar los ejercicios y problemas. Es conveniente no hacer un abuso excesivo de estas ayudas, es decir, antes de emplear la ayuda hay que pensar el problema al menos durante unos 10-15 minutos. Después se consultará la ayuda de tipo 1 y se intentará resolver el ejercicio con esta ayuda. Si no es posible resolverlo, entonces se consultará la ayuda de tipo 2; y en último término la solución.

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Ayudas Tipo 1

Soluciones

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Ayudas Tipo 1

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Ayudas Tipo 1

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Ayuda tipo 1

Ayuda tipo 2

SOLUCIÓN

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SOLUCIÓN

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AYUDA TIPO 2

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Ayudas Tipo 1

En este apartado se presentarán las ayudas para emplear en caso de ser necesario a la hora de realizar los ejercicios y problemas, y tras consultar la ayuda de tipo 1.

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